Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2

Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ A.P. का प्रथम पद a, सार्व अन्तर d और nवाँ पद a_n है :

हल-
(i) a = 7, d = 3, n = 8
∵ a_n = a + (n – 1)d
∴ a₈ = 7 + (8 – 1)3
= 7 + 21
= 28

(ii) a = -18, n = 10, an = 0
a_n = a + (n – 1)d
a₁₀ = -18 + (10 – 1)d
0 = -18 + 9d
9d = 18
d = 2

(iii) d = -3, n = 18, an = -5
a_n = a + (n – 1)d
a₁₈ = a + (18 – 1)(-3)
-5 = a – 51
a = -5 + 51 = 46

(iv) a = -18.9, d = 2.5, a_n = 3.6
a_n = a + (n – 1)d
या 3.6 = -18.9 + (n – 1)2.5
या 3.6 + 18.9 = (n – 1)2.5
या (n – 1) 2.5 = 22.5
या n – 1 = 9
या n = 9 + 1 = 10

(v) a = 3.5, d = 0, n = 105
a_n = a + (n – 1)d
a_n = 3.5 + (105 – 1) 0
= 3.5 + 0
= 3.5

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए :
(i) A.P. : 10, 7, 4, ….., का 30वाँ पद है :
(A) 97
(B) 77
(C) -77
(D) -87
हल-
दी गई A.P. है 10, 7, 4,……
यहाँ a₁ = 10, a₂ = 7, a₃ = 4
a₂ – a₁ = 7 – 10 = -3
a₃ – a₂ = 4 – 7 = -3
∵ a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = -3 = d (माना)
∵ a_n = a + (n – 1)d
अब a₃₀ = 10 + (30 – 1)(-3)
= 10 – 87
= -77
∴ सही उत्तर (C) है।

∴ सही उत्तर (B) है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ियों में, रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए :

हल-
मान लीजिए दी गई A.P. का प्रथम पद a तथा सार्व अन्तर d है।
(i) यहाँ a₁ = a = 2
और a₃ = a + 2d = 26
या 2 + 2d = 26
या 2d = 26 – 2 = 24
या d = 12
∴ लुप्त पद a₂ = a + d
= 2 + 12
= 14
अतः रिक्त बॉक्स का पद a₂ = 14

(ii) यहाँ a₂ = a + d = 13 ……(1)
और a₄ = a + 3d = 3 ……(2)
अब, समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर
2d = -10
d = -5
d का यह मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर
a – 5 = 13
a = 13 + 5 = 18
∴ a₁ = a = 18
a₃ = a + 2d
= 18 + 2 (-5)
= 18 – 10
= 8
अतः रिक्त बॉक्सों के पद क्रमशः 18 व 8 हैं।

(iii) यहाँ a₁ = a = 5

a₃ = a + 2d
= 5 + 2(32)2(32)
= 5 + 3
= 8

(iv) यहाँ a₁ = a = -4
a₆ = a + 5d = 6
या -4 + 5d = 6
या 5d = 6 + 4
या 5d = 10
या d = 2
अब, a₂ = a + d
= -4 + 2
= -2
a₃ = a + 2d
= -4 + 2(2)
= -4 + 4
= 0
a₄ = a + 3d
= -4 + 3(2)
= -4 + 6
= 2
a₅ = a + 4d
= -4 + 4(2)
= -4 + 8
= 4
अत: रिक्त बॉक्सों में प्रविष्टियाँ -2, 0 तथा 2 होंगी।

(v) यहाँ a₂ = a + d = 38 ……(1)
और a₆ = a + 5d = -22 …..(2)
अब, समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर
4d = – 60
या d = -15
d का यह मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर
a + (-15) = 38
a = 38 + 15 = 53
∴ a₁ = a = 53
a₃ = a + 2d
= 53 + 2(-15)
= 53 – 30
= 23
a₄ = a + 3d
= 53 + 3(-15)
= 53 – 45
= 8
a₅ = a + 4d
= 53 + 4(-15)
= 53 – 60
= -7
अतः रिक्त बॉक्सों में प्रविष्टियाँ 53, 23, 8 तथा -7 होंगी।

प्रश्न 4.
A.P. 3, 8, 13, 18, ….. का कौनसा पद 78 है?
हल-
दी गई A.P. है : 3, 8, 13, 18, …….
a₁ = 3, a₂ = 8, a₃ = 13, a₄ = 18
a₂ – a₁ = 8 – 3 = 5
a₃ – a₂ = 13 – 8 = 5
∵ a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = 5 = d (माना)
सूत्र a_n = a + (n – 1)d का प्रयोग करने पर,
या 78 = 3 + (n – 1) 5
या 5(n – 1) = 78 – 3 = 75
या n – 1 = 15
या n = 15 + 1 = 16
अतः, दी गई A.P. का 16वाँ पद 78 है।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ियों में से प्रत्येक श्रेढी में कितने पद हैं?
(i) 7, 13, 19, ….., 205
हल-
दी गई A.P. है 7, 13, 19, …..
a₁ = 7, a₂ = 13, a₃ = 19
a₂ – a₁ = 13 – 7 = 6
a₃ – a₂ = 19 – 13 = 6
∵ a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = 6 = d (माना)
सूत्र a_n = a + (n – 1)d का प्रयोग करने पर,
205 = 7 + (n – 1) 6
या (n – 1) 6 = 205 – 7 = 198
या n – 1 = 33
या n = 33 + 1 = 34
अतः, A.P. का 34वाँ पद 205 है।

.

अतः, A.P. का 27वाँ पद -47 है।

प्रश्न 6.
क्या A.P. 11, 8, 5, 2, ….. का एक पद -150 है? क्यों?
हल-
दिया गया अनुक्रम है : 11, 8, 5, 2, ….
a₁ = 11, a₂ = 8, a₃ = 5, a₄ = 2
a₂ – a₁ = 8 – 11 = -3
a₃ – a₂ = 5 – 8 = -3
a₄ – a₃ = 2 – 5 = -3
∵ a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = a₄ – a₃ = -3 = d (माना)
मान लीजिए -150 दी गई A.P. का एक पद है।
a_n = -150
a + (n – 1)d = -150
या 11 + (n – 1) (-3) = -150
या (n – 1) (-3) = -150 – 11 = -161

जो कि एक प्राकृत संख्या नहीं है।
अतः, -150 दी गई A.P. का पद नहीं है।

प्रश्न 7.
उस A.P. का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।
हल-
माना कि ‘a’ और ‘d दी गई A.P. का प्रथम पद और सार्व अन्तर है।
दिया है कि a₁₁ = 38
a + (11 – 1) d = 38 [∵ a_n = a + (n – 1)d)]
a + 10d = 38 ……(1)
और a₁₆ = 73
a + (16 – 1)d = 73 [∵ a_n = a + (n – 1)d]
a + 15d = 73 …….(2)
अब, समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर
5d = 35
d = 7
d का मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर
a + 10(7) = 38
या a + 70 = 38
या a = 38 – 70 = -32
अब a₃₁ = a + (31 – 1)d
= -32 + 30(7)
= -32 + 210
= 178
अतः A.P. का 31वाँ पद का मान 178 होगा।

प्रश्न 8.
एक A.P. में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अन्तिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि ‘a’ और ‘d’ दी गई A.P. का प्रथम पद और सार्व अन्तर हैं।
दिया है कि, a₃ = 12
a + (3 – 1) d = 12 [∵ a_n = a + (n – 1) d]
या a + 2d = 12 ……(1)
और अन्तिम पद = a₅₀ = 106
a + (50 – 1) d = 106 [∵ a_n = a + (n – 1)d]
या a + 49d = 106 ……(2)
अब, समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर
47d = 94
d = 2
d का यह मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर
a + 2(2) = 12
या a + 4 = 12
या a = 12 – 4 = 8
अब, a₂₉ = a + (29 – 1)d
= 8 + 28(2)
= 8 + 56
= 64
अतः A.P. का 29वाँ पद का मान 64 होगा।

प्रश्न 9.
यदि किसी A.P. के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और -8 हैं, तो इसका कौनसा पद शून्य होगा?
हल-
माना कि ‘a’ और ‘d’ क्रमशः दी गई A.P. का प्रथम पद और सार्व अन्तर हैं।
दिया है कि : a₃ = 4
a + (3 – 1)d = 4 [∵ a_n = a + (n – 1)d]
a + 2d = 4 …….(1)
और a₉ = -8
a + (9 – 1) d = -8 [∵ a_n = a + (n – 1)d]
या a + 8d = -8 ……(2)
अब, समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर
6d = -12
या d = -2
d का यह मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर
a + 2(-2) = 4
या a – 4 = 4
या a = 4 + 4 = 8
अब, a_n = 0 (दिया है)
a + (n – 1) d = 0
या 8 + (n – 1)(-2) = 0
या -2(n – 1) = -8
या n – 1 = 4
या n = 4 + 1 = 5
अतः, A.P. का 5वाँ पद शून्य है।

प्रश्न 10.
किसी A.P. का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्व अन्तर ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि ‘a’ और ‘d’ क्रमशः दी गई A.P. का प्रथम पद और सार्व अन्तर हैं।
अब, a₁₇ = a + (17 – 1)d = a + 16d
और a₁₀ = a + (10 – 1)d = a + 9d
प्रश्नानुसार a₁₇ – a₁₀ = 7
या (a + 16d) – (a + 9d) = 7
या a + 16d – a – 9d = 7
या 7d = 7
या d = 1
अतः, सार्व अन्तर 1 है।

प्रश्न 11.
A.P. : 3, 15, 27, 39, ….. का कौनसा पद उसके 54वें. पद से 132 अधिक होगा?
हल-
माना कि ‘a’ और ‘d’ क्रमशः दी गई A.P. का प्रथम पद और सार्व अन्तर हैं।
दी गई A.P. है : 3, 15, 27, 39, ………
a₁ = 3, a₂ = 15, a₃ = 27, a₄ = 39
a₂ – a₁ = 15 – 3 = 12
a₃ – a₂ = 27 – 15 = 12
∴ d = a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = 12
अब, a₅₄ = a + (54 – 1)d
= 3 + 53(12)
= 3 + 636
= 639
प्रश्नानुसार a_n = a₅₄ + 132
या a + (n – 1)d = 639 + 132
या 3 + (n – 1)(12) = 771
या (n – 1)12 = 771 – 3 = 768
या n – 1 = 64
या n = 64 + 1 = 65
अतः, श्रेणी का 65वाँ पद 54वें पद से 132 अधिक है।

प्रश्न 12.
दो समान्तर श्रेढ़ियों का सार्व अन्तर समान है। यदि इनके 100वें पदों का अन्तर 100 है, तो इनके 1000वें पदों का अन्तर क्या होगा?
हल-
माना कि ‘a’ और ‘d’ पहली A.P. का प्रथम पद और सार्व अन्तर हैं।
साथ ही, ‘A’ और ‘व’ दूसरी A.P. का प्रथम पद और सार्व अन्तर हैं।
चूँकि यहाँ पर सार्व अन्तर दोनों श्रेढ़ियों का समान है।
प्रश्नानुसार
[दूसरी A.P. का a₁₀₀] – [पहली A.P. का a₁₀₀] = 100
या [A + (100 – 1)d] – [a + (100 – 1)d] = 100
या A + 99d – a – 99d = 100
या A – a = 100 ……(1)
अब, [दूसरी A.P का a₁₀₀] – [पहली A.P. का a₁₀₀]
= [A + 1000 – 1)d] – [(a + (1000 – 1)d]
= A + 999d – a – 999d
= A – a
= 100 [∵ (1) का प्रयोग करने से]
अतः 1000वें पदों का अन्तर = 100

प्रश्न 13.
तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?
हल-
7 से विभाज्य तीन अंकों वाली संख्याएँ : 105, 112, 119, ……., 994
यहाँ a₁ = a = 105, a₂ = 112, a₃ = 119
और a_n = 994
a₂ – a₁ = 112 – 105 = 7
a₃ – a₂ = 119 – 112 = 7
∴ d = a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = 7
दिया है कि a_n = 994
या a + (n – 1)d = 994
या 105 + (n – 1)7 = 994
या (n – 1)7 = 994 – 105
या (n – 1) 7 = 889
या n – 1 = 127
या n = 127 + 1 = 128
अतः, तीन अंकों वाली 128 संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं।

प्रश्न 14.
10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?
हल-
10 से बड़ा 4 का पहला गुणज = 12
250 से छोटा 4 का पहला गुणज = 248
∴ 10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की श्रेणी निम्न होगी :
12, 16, 20, 24, ……., 248
यहाँ a₁ = a = 12, a₂ = 16, a₃ = 20
और a_n = 248
a₂ – a₁ = 16 – 12 = 4
a₃ – a₂ = 20 – 16 = 4
∴ d = a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = 4
दिया है कि a_n = 248
या a + (n – 1)d = 248
या 12 + (n – 1)4 = 248
या 4(n – 1) = 248 – 12 = 236
या n – 1 = 59
या n = 59 + 1 = 60
अतः, 10 और 250 के बीच 4 के 60 गुणज हैं।

प्रश्न 15.
n के किस मान के लिए, दोनों समान्तर श्रेढ़ियों 63, 65, 67,……. और 3, 10, 17,……. के nवें पद बराबर होंगे?
हल-
दी गई A.P. है : 63, 65, 67, …….
यहाँ a = a₁ = 63, a₂ = 65, a₃ = 67
a₂ – a₁ = 65 – 63 = 2
a₃ – a₂ = 67 – 65 = 2
∵ d = a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = 2
और दूसरी A.P. है : 3, 10, 17, ……
यहाँ a = a₁ = 3, a₂ = 10, a₃ = 17
a₂ – a₁ = 10 – 3 = 7
a₃ – a₂ = 17 – 10 = 7
प्रश्नानुसार
[पहली A.P. का गवाँ पद] = [दूसरी A.P. का nवाँ पद]
या 63 + (n – 1)2 = 3 + (n – 1)7
या 63 + 2n – 2 = 3 + 7n – 7
या 61 + 2n = 7n – 4
या 2n – 7n = -4 – 61
या -5n = -65
या n = 13
अतः दोनों समान्तर श्रेणियों के 13वें पद बराबर होंगे।

प्रश्न 16.
वह A.P. ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।
हल-
माना कि ‘a’ और ‘d’ दी गई A.P. के प्रथम पद और सार्व अन्तर हैं।
दिया है कि a₃ = 16
a + (3 – 1) = 16
a + 2d = 16 ……(1)
प्रश्नानुसार a₇ – a₅ = 12
[a + (7 – 1)d] – [a + (5 – 1) d] = 12
a + 6d – a – 4d = 12
2d = 12
d = 6
d का यह मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर।
a + 2(6) = 16
a = 16 – 12 = 4
अतः दी गई A.P. हैं : 4, 10, 16, 22, 28, …..

प्रश्न 17.
A.P. : 3, 8, 13, ….., 253 में अन्तिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल-
दी गई A.P. है : 3, 8, 13, ….., 253
यहाँ a = a₁ = 3, a₂ = 8, a₃ = 13
और a_n = 253
a₂ – a₁ = 8 – 3 = 5
a₃ – a₂ = 13 – 8 = 5
d = a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = 5
अब a_n = 253
3 + (n – 1)5 = 253
(n – 1) 5 = 250
n – 1 = 50 [∵ a_n = a + (n – 1)d]
n = 50 + 1 = 51
AP के अन्तिम पद से 20वाँ पद = (पदों की कुल संख्या) – 20 + 1
= 51 – 20 + 1
= 32वाँ पद
∴ AP के अन्तिम पद से 20वाँ पद = आरम्भ से 32वाँ पद
= 3 + (32 – 1)5 [∵ a_n = a + (n – 1)d]
= 3 + 31 × 5
= 3 + 155
= 158
अत: A.P. के अन्तिम पद से 20वाँ पद = 158

प्रश्न 18.
किसी A.P. के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10वें पदों का योग 44 है। इस A.P. के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि ‘a’ और ‘d’ दी गई A.P. के प्रथम पद और सार्व अन्तर हैं।
प्रश्न की पहली शर्त के अनुसार,
a₄ + a₈ = 24
a + (4 – 1)d + a + (8 – 1)d = 24 [∵ a_n = a + (n – 1)d]
या 2a + 3d + 7d = 24
या 2a + 10d = 24
या a + 5d = 12 ……(1)
प्रश्न की दूसरी शर्त के अनुसार,
a₆ + a₁₀ = 44
या a + (6 – 1) d + a + (10 – 1) d = 44 [∵ a_n = a + (n – 1)d]
या 2a + 5d + 9d = 44
या 2a + 14d = 44
या a + 7d = 22 ……(2)
अब, समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर
2d = 10
d = 5
d का यह मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर
a + 5(5) = 12
a + 25 = 12
a = 12 – 25 = -13
∴ a₁ = a = – 13
a₂ = a + d
= -13 + 5
= -8
a₃ = a + 2d
= -13 + 2(5)
= -13 + 10
= -3
अतः, दी गई A.P. है : -13, -8, -3

प्रश्न 19.
सुब्बा राव ने 1995 में 5000 रु. के मासिक वेतन पर कार्य आरम्भ किया और प्रत्येक वर्ष 200 रु. की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन 7000 रु. हो गया?
हल-
सुब्बा राव का आरम्भिक वेतन = 5000 रु.
वार्षिक वृद्धि = 200 रु.
मान लीजिए ‘n’ वर्षों की संख्या को निरूपित करता है।
∴ प्रथम पद = a = 5000 रु.
सार्व अन्तर = d = 200 रु.
और a_n = 7000 रु.
या 5000 + (n – 1) 200 = 7000 [∵ a_n = a + (n – 1)d]
या (n – 1)200 = 7000 – 5000
या (n – 1) 200 = 2000
या n – 1 = 10
या n = 10 + 1 = 11
अतः 11वें वर्ष में सुब्बा राव का वेतन 7000 रु. होगा।

प्रश्न 20.
रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में 50 रु. की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत 17.5 रु. बढ़ाती गई। यदि nवें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत 207.5 रु. हो जाती है, तो n ज्ञात कीजिए।
हल-
प्रथम सप्ताह में बचत = 50 रु.
प्रति सप्ताह बचत में वृद्धि = 17.5 रु.
यह स्पष्ट है कि यह एक A.P. है जिसके पद हैं :
a₁ = 50, d = 17.5
a₂ = 50 + 17.5 = 67.5
a₃ = 67.5 + 17.5 = 85
साथ ही, a_n = 207.5 (दिया है)
50 + (n – 1) 17.5 = 207.5 [∵ a_n = a + (n – 1)d]
या (n – 1) 17.5 = 207.5 – 50
या (n – 1) 17.5 = 157.5
या (n – 1) = 9
या n = 9 + 1 = 10
अतः, 10वें सप्ताह में रामकली की बचत 207.5 रु. हो जाती है।