Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण Ex 5.2

Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण Ex 5.2

प्रश्न 1 से 2 तक सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक का मापांक और कोणांक ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 1.

प्रश्न 2.
–√3 + i
हल:
मान लीजिए x = –√3 + i = r (cos θ + i sin θ)
D r cos θ = –3–√3, r sin θ = 1
वर्ग करके जोड़ने पर,
r²(cos²θ + sin²θ) = 3 + 1 = 4 ,
∴ r² = 4 या r = 2

प्रश्न 3 से 8 तक सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक को ध्रुवीय रूप में रूपांतरित कीजिए :
प्रश्न 3.
1 – i.
हल:
मान लीजिए z = 1 – i = r(cos θ + i sinθ)
∴ r cos θ = 1 तथा rsin θ = -1
वर्ग करके जोड़ने पर,
r² cos² θ + r² sin²θ = 1 + 1 = 2
या r² (cos²θ + sin²θ) = 2
या r² = 2 या r = –√2
अब cos θ धनात्मक है और sin θ ऋणात्मक है।
∴ θ चौथे चतुर्थांश में है।

प्रश्न 4.
-1 + i.
हल:
मान लीजिए z = -1 + i = r(cos θ + isin θ)
⇒ r cosθ = – 1 और r sin θ = 1
इनका वर्ग करके जोड़ने पर,
r²cos²θ + r² sin²θ = 1
या (cos² θ + sin²θ) = 1
r² = 2 या r = √2
यहाँ cos θ ऋणात्मक तथा sin θ धनात्मक है
⇒ θ दूसरे चतुर्थांश में है।

प्रश्न 5.
-1 – i
हल:
मान लीजिए z = – 1 – i = r(cos θ + i sin θ)
∴ rcos θ = – 1, r sin θ = -1
इनका वर्ग करके जोड़ने पर,
∴ r² cos²θ + r² sin² θ = 1 + 1 = 2
या r²(cos² θ + sin²θ) = 2
∴ r² = 2 या r = √2
यहाँ cos θ और sin θ दोनों ही ऋणात्मक हैं।
∴ θ तीसरे चतुर्थांश में है।

प्रश्न 6.
-3.
हल:
मान लीजिए z = – 3 = r (cos θ + sin θ)
∴ r cos θ = – 3, r sin θ = 0
इनका वर्ग करके जोड़ने पर,
∴ r²cos²θ + r² sin² θ = 9
r² (cos²θ + sin² θ) = r² = 9 या r = 3

∴ θ = π
∴ z का ध्रुवीय रूप = 3(cos π + i sin π).

प्रश्न 8.
i.
हल:
मान लीजिए z = i = r(cos θ + i sin θ)
⇒ r cos θ = 0 और r sin θ = 1
वर्ग करके जोड़ने पर,
r²cos²θ + r² sin²θ = 0 + 1
या r²(sin²θ + cos²θ) = 1 .
या r² = 1 या r = 1