Chapter 5 Continuity and Differentiability

प्रश्नावली 5.1

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = 5x – 3, x = 0, x = – 3 तथा x = 5 पर संतत है।
हल
यहाँ, f(x) = 5x – 3
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(iii) उपरोक्त की भाँति स्वयं हल कीजिए।
नोट-चूँकि दिया गया फलन f(x) = 5x – 3 बहुपद है।
∴ यह ∀ x ∈ R के लिए संतत है।

प्रश्न 2.
x = 3 पर फलन f(x) = 2x² – 1 के सातत्य की जाँच कीजिए।
हल
यहाँ, f(x) = 2x -1
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अतः x = 3 पर f संतत है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित फलनों के सांतत्य की जाँच कीजिए
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 3
हल
(a) f(x) = x – 5
∵ (x – 5) एक बहुपद है।
अत: प्रत्येक बिन्दु x∈R पर f संतत है।
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UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 3.2

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = xn, x = n पर संतत है, जहाँ n एक धन पूर्णाक है।
हल
दिया है- f(x) = xn एक बहुपदीय फलन है।
संतत है, यदि x ∈ R तथा x ∈ N
यहाँ x = n एक पूर्णांक है।
अत: f(x) = xn संतत फलन है।

प्रश्न 5.
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हल
x = 0 तथा x = 2 पर फलन एक बहुपद है।
अतः x = 0 तथा x = 2 पर फलन सतत है।
x = 1 पर, f(x) = x, x<1 के लिए, f(x) = 5, x>1 के लिए
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प्रश्न 6.
f के सभी असातत्य बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है।
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हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 6.1

प्रश्न 7.
f के सभी असातत्य बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है।
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 7
हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 7.1
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 7.2

UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 7.3

प्रश्न 8.
f के सभी असातत्य बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है।
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हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 8.1

प्रश्न 9.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 9

हल

UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 9.1
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 9.2

प्रश्न 10.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 10
हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 10.1

प्रश्न 11.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 11
हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 11.1

प्रश्न 12.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 12
हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 12.1

प्रश्न 13.
क्या
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 13
द्वारा परिभाषित फलन, एक संतत फलन है?
हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 13.1

प्रश्न 14.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 14
हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 14.1

UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 14.2

प्रश्न 15.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 15
हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 15.1

UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 15.2
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 15.3

प्रश्न 16.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 16
हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 16.1

UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 16.2

प्रश्न 17.
a और b के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 17
द्वारा परिभाषित फलन x = 3 पर संतत है।
हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 17.1
स्वेच्छा से b के मान के लिए a का मान ज्ञात किया जा सकता हैं।

प्रश्न 18.
λ के किस मान के लिए।
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यदि x = 0 द्वारा परिभाषित फलन x = 0 पर संतत है। x = 1 पर इसके सातत्य पर विचार कीजिए।
हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 18.1

प्रश्न 19.
दर्शाइए कि g(x) = x – [x] द्वारा परिभाषित फलन समस्त पूर्णाक बिन्दुओं पर असंतत है। यहाँ [x] उस महत्तम पूर्णांक निरूपित करता है, जो x के बराबर अथवी x से कम है।
हल
x = c पूर्णांक पर, g(x) = x – [x]
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अतः x = c पूर्णाक पर, f संतत नहीं है।

प्रश्न 20.
क्या f(x) = x² – sin x + 5 द्वारा परिभाषित फलन x = π पर संतत है?
हल
माना
f(x) = x² – sin x + 5
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प्रश्न 21.
निम्नलिखित फलनों के सांतत्य पर विचार कीजिए
(a) f(x) = sin x + cos x
(b) f(x) = sin x – cos x
(c) f(x) = sin x.cos x
हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 21
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 21.1
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 21.2
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 21.3

प्रश्न 22.
cosine, cosecant, secant और cotangent फलनों के सातत्य पर विचार कीजिए।
हल
(a) माना f(x) = cos x
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 22
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 22.1
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 22.2

प्रश्न 23.
f के सभी असातत्यता के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए, जहाँ
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हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 23.1

प्रश्न 24.
निम्न प्रकार से परिभाषित फलन की सातत्यता की जाँच x = 0 पर कीजिए
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 24
हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 24.1

UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 24.2

प्रश्न 25.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 25
हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 25.1

प्रश्न 26.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 26

हल

UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 26.1
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 26.1

प्रश्न 27.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 27
द्वारा परिभाषित फलन x = 2 पर।
हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 27.1
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 27.2

प्रश्न 28.
k का मान ज्ञात कीजिए यदि फलन
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 28
द्वारा परिभाषित फलन x = π पर सतत् है।
हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 28.1

प्रश्न 29.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 29
द्वारा परिभाषित फलने x = 5 पर।
हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 29.1

प्रश्न 30.
a तथा b के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 30
द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन हो।
हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 30.1
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 30.2

प्रश्न 31.
दर्शाइए कि f(x) = c0s x² द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
हल
ज्ञात है- f(x) = cos x²
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 31
f(c) = cos c²
अत: f(x) = cos x² एक संतत फलन है। इति सिद्धम्

प्रश्न 32.
दर्शाइए कि f(x) =| cos x| द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
हल
ज्ञात है- f(x) = | cos x|
माना x = c ∈ R पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 32
f(c) = | cos c|
अतः x = c ∈ R पर F एक संतत फलन है।। इति सिद्धम्

प्रश्न 33.
जाँचिए कि क्या sin|x| एक संतत फलन है।
हल
माना f(x) = sin | x|
x = c ∈ R पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 33
f(c) = sin|c|
अतः x = c ∈ R पर f एक संतते फलन है।।

प्रश्न 34.
f(x) = |x|-|x + 1| द्वारा परिभाषित फलन f के सभी असातत्यता के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए।
हल
ज्ञात है- f(x) = |x|-|x +1|
f(x) = – x -[-(x + 1)] जब x< – 1]
= -x + x + 1 = 1
f(x) = – x – (x + 1), [जब – 1≤ x < 0]
= – x – x – 1
= – 2x – 1
f(x) = x – (x + 1), जब x≥ 0
= x – x – 1 = -1
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 34
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 34.1

प्रश्नावली 5.2

प्रश्न 1 से 8 में x के सापेक्ष निम्नलिखित फलनों का अवकलन कीजिए

प्रश्न 1.
sin(x²+5)
हल
माना y = sin(x²+5)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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= cos (x² + 5) (2x + 0)
= 2x cos (x² + 5)

प्रश्न 2.
cos (sin x)
हल
माना y = cos (sin x)
माना sin x = t
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,  \frac { dt }{ dx }=cosx
∴ y = cos t से,
दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करने
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= – sin t cos x = -sin (sin x)cos x

प्रश्न 3.
sin (ax+b)
हल
माना y = sin (ax + b)
ax+ b = t रखने पर, y = sin t
दोनों पक्षों का है के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 3

प्रश्न 4.
sec (tan√x)
हल
माना y = sec (tan (√x))
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 4

प्रश्न 5.
\frac { sin(ax+b) }{ cos(cx+d) }
हल
माना  y=\frac { sin(ax+b) }{ cos(cx+d) } …(1)
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प्रश्न 6.
cos x3.sin2 x5
हल
माना y = cos x3.sin2 x5
समी० (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 6

प्रश्न 7.
2\sqrt { cot\left( { x }^{ 2 } \right) }
हल
माना  2\sqrt { cot\left( { x }^{ 2 } \right) }
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 7

प्रश्न 8.
cos(√x)
हल
माना y = cos(√x) ….(1)
समी० (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 8

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) =|x – 1|, x ∈ R, x = 1 पर अवकलित नहीं है।
हल
दिया है- f (x) = |x – 1| x∈R
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R.H.D. ≠ L.H.D.
अत: x = 1 पर f अवकलनीय नहीं है। इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि महत्तम पूर्णाक फलन f(x) = [x],0 < x < 3, x = 1 तथा x = 2 पर अवकलित नहीं है।
हल
ज्ञात है, f(x) = [x]
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प्रश्नावली 5.3

निम्नलिखित प्रश्नों में  \frac { dy }{ dx } ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1
2x + 3y = sinx
हल
ज्ञात है, 2x + 3y = sin x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 1

प्रश्न 2
2x + 3y = siny
हल
दिया है- 2x + 3y = siny
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 2

प्रश्न 3
ax + by² = cosy
हल
ज्ञात है- ax + by² = cosy
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 3

प्रश्न 4
xy + y² = tan x + y
हल
दिया है xy + y² = tan x + y
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 4
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 4.1

प्रश्न 5
x² + xy + y² = 100
हल
दिया है x² + xy + y² = 100
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 5

प्रश्न 6
x3 + x²y + xy² + y3 = 81
हल
दिया है x3 + x²y + xy² + y3 = 81
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 6

प्रश्न 7
sin² y + cos xy = k
हल
दिया है sin² y + cos xy = k
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 7
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 7.1

प्रश्न 8
sin² x + cos² y = 1
हल
दिया है sin² x + cos² y = 1
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 8

प्रश्न 9.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 9

हल
दिया है-
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 9.1

प्रश्न 10.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 10
हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 10.1

प्रश्न 11.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 11
हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 11.1

प्रश्न 12.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 12

हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 12.1

प्रश्न 13.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 13

हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 13.1
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 13.2

प्रश्न 14.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 14

हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 14.1

प्रश्न 15.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 15
हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 15.1

प्रश्नावली 5.4

निम्नलिखित का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए

प्रश्न 1
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 1
हल
माना
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 1
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 1.1

प्रश्न 2
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 2
हल
माना
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 2
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 2.1

प्रश्न 3
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 3
हल
माना
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 3
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 3.1

प्रश्न 4
sin(tan-1 ex)
हल
माना sin(tan-1 ex)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 4.1

प्रश्न 5
log(cos ex)
हल
माना log(cos ex)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 5.1

प्रश्न 6
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 6
हल
माना
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 6
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 6.1

प्रश्न 7
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 7
हल
माना
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 7
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 7.1
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 7.2

प्रश्न 8
log(log x), x>1
हल
माना log(log x), x>1
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 8.1

प्रश्न 9
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 9

हल
माना
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 9
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 9.1

प्रश्न 10
cos(log x + ex)
हल
माना cos(log x + ex)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 10.1

प्रश्नावली 5.5

प्रश्न 1 से 11 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए

प्रश्न 1.
cos x.cos 2x.cos 3x
हल
माना y = cos x. cos 2x. cos 3x …(1)
दोनों पक्षों को लघुगणक लेने पर,
logy = log (cos x. cos2x. cos 3x)
= log cos x + log cos 2 x + log cos 3x
[∵ log m.n = log m + log n]
दोनों पक्षों में x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 1

प्रश्न 2.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 2

हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 2.1
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 2.2

प्रश्न 3.
(log x)cos x
हल
माना y = (log x)cos x
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log y = log (log x)cos x = cos x log (log x), [∵log mn = n log m]
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 3

प्रश्न 4.
xx – 2sin x
हल
माना y = xx – 2sin x
पुनः माना u = xx, v = 2sin x
y = u – v
u = xx
से दोनों पक्षों को लघुगणक लेने पर, log u = log xx = x log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 4

प्रश्न 5.
(x + 3)2 .(x + 4)3 .(x + 5)4
हल
माना y = (x + 3)2 .(x + 4)3 .(x + 5)4
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log y = log [(x + 3)2 .(x + 4)3 (x + 5)4]
= log (x + 3)2 + log (x + 4)3 + log (x + 5)4
[∵ log mn = log m + log n]
= 2 log (x + 3) + 3 log (x + 4) + 4 log (x + 5)
[∵ log mn = n log m]
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 5

प्रश्न 6.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 6
हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 6.1
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 6.2
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 6.3

प्रश्न 7.
(log x)x + xlog x
हल
माना y = (log x)x + xlog x
पुनः माना y = u + v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 7
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 7.1

प्रश्न 8.
(sin x)x + sin-1√x
हल
माना y = (sin x)x + sin-1√x
पुनः माना y = u + v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 8
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 8.1
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 8.2

प्रश्न 9.
xsin x + (sin x)cos x
हल
माना xsin x + (sin x)cos x
पुनः माना y = u + v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 9
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 9.1

प्रश्न 10.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 10

हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 10.1
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 10.2

प्रश्न 11.
(x cos x)x + (xsin x)1/x
हल
माना y = (x cos x)x + (x sin x)1/x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 11
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 11.1

प्रश्न 12.
xy + yx = 1
हल
दिया है, ∵ xy + yx = 1
माना u = xy, v = yx ∵ u + v = 1
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 12
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 12.1

प्रश्न 13.
yx = xy
हल
दिया है, yx = xy
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर, log yx = log xy
x log y = y log x
दोनों पक्षों में x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 13

प्रश्न 14.
(cos x)y = (cos y)x
हल
दिया है, (cos x)y = (cos y)x
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log (cos x)y = log (cos y)x या y log cos x = x log cos y
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 14

प्रश्न 15.
xy = e(x-y)
हल
दिया है, xy = e(x-y)
दोनों पक्षों को लघुगणक लेने पर,
log (xy) = log e(x-y)
या log x + log y = (x – y) loge e [∵ log xy = log x + log y]
या log x + log y = x – y [∵ loge = 1]
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 15

प्रश्न 16.
f(x) = (1 + x) (1 + x2) (1 + x4) (1 + x8) द्वारा प्रदत्त फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए और इस प्रकार f'(1) ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, f(x) = (1 + x) (1 + x2) (1 + x4) (1 + x8)
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log f (x) = log [(1 + x) (1 + x2) (1 + x4) (1 + x8)]
या log f(x) = log (1 + x) + log (1 + x2) + log (1 + x4) + log (1 + x8)
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प्रश्न 17.
(x² – 5x + 8) (x3 + 7x + 9) का अवकलन निम्नलिखित तीन प्रकार से कीजिए
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग करके
(ii) गुणनफल के विस्तारण द्वारा एक एकल बहुपद प्राप्त करके
(iii) लघुगणकीय अवकलन द्वारा
यह भी सत्यापित कीजिए कि इस प्रकार प्राप्त तीनों उत्तर समान हैं।
हल
(i) गुणनफल नियम के प्रयोग द्वारा ।
माना y = (x2 – 5x + 8). (x3 + 7x + 9)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 17
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 17.1

UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 17.2

प्रश्न 18.
यदि u, v और w, x के फलन हैं तो दो विधियों अर्थात् प्रथम गुणनफल नियम की पुनरावृत्ति द्वारा, द्वितीय-लघुगणकीय अवकलन द्वारा दर्शाइए कि ।
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 18
हल
(i) माना y = u . v . w = u. (v. w)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 18.1

प्रश्नावली 5.6

यदि प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में तथाy के लिए समीकरणों द्वारा, एक-दूसरे से प्राचलिक रूप में सम्बन्धित हों तो प्राचलों का विलोपन किए बिना  \frac { dy }{ dx } ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.
x = 2at2, y = at4
हल
दिया है, x = 2at2 तथा y = at4
दोनों पक्षों का है के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 1

प्रश्न 2.
x = a cos θ, y = b cos θ
हल
दिया है : x = a cos θ तथा y = b cos θ
दोनों पक्षों का θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 2

प्रश्न 3.
x = sin t, y = cos 2t
हल
दिया है, x = sin t तथा y = cos 2t
दोनों पक्षों का है के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\frac { dx }{ dt }=cost
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 3

प्रश्न 4.
x = 4t,  y=\frac { 4 }{ t }
हल
दिया है, x = 4t तथा  y=\frac { 4 }{ t }
दोनों पक्षों का है के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 4

प्रश्न 5.
x = cos θ – cos 2θ, y = sin θ – sin 2θ

हल
दिया है, x = cosθ – cos 2θ तथा y = sin θ – sin 2θ
x = cos θ – cos 2θ
दोनों पक्षों का θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 5

प्रश्न 6.
x = a(θ – sinθ), y = a(1 + cosθ)
हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 6

प्रश्न 7
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 7
हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 7.1
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 7.2
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 7.3
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 7.4

प्रश्न 8
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 8
हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 8.1

प्रश्न 9.
x = a sec θ, y = b tan θ
हल
दिया है, x = a sec θ तथा y = b tan θ
दोनों पक्षों का θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 9

प्रश्न 10.
x = a (cos θ + θ sin θ), y = a(sin θ – θcos θ)
हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 10

प्रश्न 11.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 11
हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 11.1

प्रश्नावली 5.7

प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में दिए फलनों के द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1.
x² + 3x + 2
हल
माना y = x² + 3x + 2
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,  \frac { dy }{ dx }=2x+3
दोनों पक्षों का पुन: x में सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 2.
x20
हल
माना y = x20
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 2

प्रश्न 3.
x cos x
हल
माना y = x cos x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 3
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 3.1

प्रश्न 4.
log x
हल
माना y = log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 4
दोनों पक्षों को पुन: x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
x3 log x
हल
माना y = x3 log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 5
= 2x + 3x + 6x log x
= 5x + 6x log x
= x (5 + 6 log x)

प्रश्न 6.
ex sin 5x
हल
माना y = ex sin 5x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 6
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 6.1

प्रश्न 7.
e6x cos 3x
हल
माना y = e6x cos 3x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 7

प्रश्न 8.
tan-1x
हल
माना y = tan-1x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 8

प्रश्न 9.
log (log x)

हल
माना y = log (log x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 9

प्रश्न 10.
sin (log x)
हल
माना y = sin (log x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 10

प्रश्न 11.
यदि y = 5 cos x – 3 sin x है तो सिद्ध कीजिए कि
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 11
हल
दिया है, y = 5 cos x – 3 sin x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 11.1

प्रश्न 12.
यदि y = cos-1 x है तो  \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } को केवल y के पदों में ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, y = cos-1 x
⇒ x = cos y
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 12

प्रश्न 13.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 13
हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 13.1

प्रश्न 14.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 14
हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 14.1

UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 14.2

प्रश्न 15
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 15
हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 15.1

प्रश्न 16
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 16
हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 16.1

प्रश्न 17
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 17
हल
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 17.1
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 17.2

प्रश्नावली 5.8

प्रश्न 1.
फलन f(x) = x² + 2x – 8, x∈[-4,2] के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।
हल
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प्रश्न 2.
जाँच कीजिए कि रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलनों में से किन-किन पर लागू होता है? इन उदाहरणों से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?
(i) f(x) = [x] के लिए x∈[5,9]
(ii) f(x) = [x] के लिए x∈[-2,2]
(ii) f(x) = x² – 1 के लिए x∈[1,2]
हल
(i) f(x) = [x] के लिए x∈[5, 9]
f(x) = [x], बिन्दु x = 6, 7, 8 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है।
∴ यहाँ रोले प्रमेय लागू नहीं है।
(ii) f(x) = [x], x∈[-2, 2]
f(x) = [x], बिन्दु x = -1, 0, 1 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है।
∴ यहाँ रोले प्रमेय लागू नहीं है।
(iii) f(x) = (x² – 1), x∈[1, 2] के लिए
f(1) = 1 – 1 = 0,
f(2) = 2² – 1 = 4 – 1 = 3
f(1) ≠ f(2)
चूँकि f, [1, 2] में संतत है तथा फलन (1, 2) अवकलनीय भी है परन्तु f(1) ≠ f(2).
∴ यहाँ रोले प्रमेय लागू नहीं है।

प्रश्न 3.
यदि f :[-5, 5]→ R एक संतत फलन है और यदि f ‘ (x) किसी भी बिन्दु पर शून्य नहीं होता है तो सिद्ध कीजिए कि f(- 5) ≠ f(5).

हल
दिया है, f:[-5, 5]→ R
f संतत है तथा अवकलनीय है लेकिन f” (x) ≠ 0
अन्तराल (-5, 5) में रोले प्रमेय के लिए आवश्यक है
(i) [a, b] में f संतत है।
(ii) (a, b) में f अवकलित होता है।
(iii) f(a) = f(b)
f ‘(c) = 0 c ∈(a, b)
f ‘(c) ≠ 0
⇒ f(a) ≠ f(b)
f(- 5) ≠ f(5) इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अन्तराल [a, b] में f(x) = x² – 4x – 3, जहाँ a = 1 और  b = 4 है।
हल
दिया है, (x) = x² – 4x – 3,[1,4] अन्तराल के लिए f एक बहुपदीय व्यंजक है। यह 1,4 में संतत तथा (1, 4) में अवकलनीय दोनों है।
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 4

प्रश्न 5.
माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अन्तराल [a, b] में f(x) = x³ – 5x² – 3x, जहाँ a = 1 और b = 3 है। f ‘(c) = 0 के लिए c∈(1, 3) को ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, f(x) = x³ – 5x² – 3x
[1, 3] में f संतत है और (1, 3) में अवकलनीय है क्योकि यह बहुपदीय है।
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 5

UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability 5.1

प्रश्न 6.
प्रश्न संख्या 2 में उपर्युक्त दिए तीनों फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए।
हल
(i) f(x) = [x],
x∈[5,9]
दिये हुए अन्तराल (5, 9) में f(x) = [x] बिन्दु x = 6, 7, 8 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है।
माध्यमान प्रमेय लागू नहीं है।
(ii)
f(x) =[x], x ∈[-2, 2 ]
दिये हुए अन्तराल [-2, 2] में f बिन्दु x = -1, 0, 1 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है।
माध्यमान प्रमेय लागू नहीं है।
(iii) f(x) = x² – 1, x ∈[1, 2]
यह एक बहुपदीय फलन है। यह अन्तराल [1,2] में संतत है तथा (1, 2) में अवकलनीय है।
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