Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.2

प्रश्न 1.
निम्न संख्याओं का वर्ग ज्ञात कीजिए –

  1. 32
  2. 35
  3. 86
  4. 93
  5. 71
  6. 46.

हल:
1. 322 = (30 + 2)2 = (30 + 2) (30 + 2)
= 30 (30 + 2) + 2 (30 + 2)
= 302 + 30 x 2 + 2 x 30 + 22
= 900 + 60 + 60 +4
अतः 322 = 1024

2. 352 = (30 + 5)2 + (30 + 5) (30 + 5)
= 30 (30 + 5) + 5 (30+ 5)
= 302 + 30 x 5 + 5 x 30 + 52
= 900 + 150 + 150 + 25
अतः 352 = 1225

3. 862 = (80 + 6)2 = (80 + 6) (80 + 6)
= 80 (80 + 6) + 6 (80 + 6)
= 802 + 80 x 6 + 6 x 80 + 62
= 6400 + 480 + 480 + 36
अतः 862 = 9396

4. 932 = (90 + 3)2 = (90 + 3) (90 + 3)
= 90 (90 + 3)+ 3 (90 +3)
= 902 + 90 x 3 + 3 x 90 + 32
= 8100 + 270 + 270 + 9
अतः 932 = 8649

5. 712 = (70 + 1)2 = (70 + 1) (70 + 1)
= 70 (70 + 1) + 1 (70 + 1)
= 702 + 70 x 1 + 1 x 70 + 12
= 4900 + 70 + 70 + 1
अतः 712 = 5041

6. 462 = (40 + 6) = (40 + 6) (40 + 6)
= 40 (40 + 6) + 6 (40 + 6)
= 402 + 40 x 6 + 6 x 40 + 62
= 1600 + 240 + 240 + 36
अतः 462 = 2116

प्रश्न 2.
पाइथागोरस त्रिक लिखिए जिसका एक सदस्य

  1. 6
  2. 14
  3. 16
  4. 18

हल:
1. m = 3 रखने पर,
2m = 6, m2 – 1 = 32 – 1 = 9 – 1 = 8
और m2 + 1 = 32 + 1 = 9 + 1 = 10
अतः पाइथागोरस त्रिक = 6, 8 और 10 हैं।

2. m = 7 रखने पर,
2m = 14, m2 – 1 = 72 – 1 = 49 – 1 = 48
और m2 + 1 = 72 + 1 = 49 + 1 = 50
अतः पाइथागोरस त्रिक = 14, 48 और 50 हैं।

3. m = 8 रखने पर,
2m = 16, m2 – 1 = 82 – 1 = 64 – 1 = 63
और m2 + 1 = 82 + 1 = 64 + 1 = 65
अंतः पाइथागोरस त्रिक = 16, 63 और 65 हैं।

5. m = 9 रखने पर,
2m = 18, m2 – 1 = 92 – 1 = 81 – 1 = 80
और m2 + 1 = 92 + 1 = 81 + 1 = 82
अतः पाइथागोरस त्रिक = 18, 80 और 82 हैं।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 106

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.12)

प्रश्न 1.

  1. 112 = 121, 121 का वर्गमूल क्या है?
  2. 142 = 196, 196 का वर्गमूल क्या है?

हल:

  1. क्योंकि 112 = 121, अतः 121 का वर्गमूल 11
  2. क्योंकि 142 = 196, अतः 196 का वर्गमूल 14 है।

सोचिए चर्चा कीजिए और लिखिए (क्रमांक 6.1)

प्रश्न 1.
(-1)2 = 1, क्या 1 का वर्गमूल है-1?
हल:
हाँ, 1 का वर्गमूल – 1 है।

प्रश्न 2.
(-2)2 = 4, क्या 4 का वर्गमूल है -2?
हल:
हाँ, 4 का वर्गमूल – 2 है।

प्रश्न 3.
(-9)2 = 81, क्या 81 का वर्गमूल है -9?
हल:
हाँ, 81 का वर्गमूल -9 है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 107

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.13)

प्रश्न 1.
1 से प्रारम्भ होनेवाली विषम संख्याओंको बार-बार घटाने पर प्राप्त निम्नलिखित संख्याएँ पूर्ण वर्ग हैं या नहीं? यदि यह संख्या पूर्ण वर्ग हैं तो इसके वर्गमूल ज्ञात कीजिए –

  1. 121
  2. 55
  3. 36
  4. 49
  5. 90

हल:
121 से हम 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं को घटाते हैं –
1.

  • 121 – 1 = 120,
  • 120 – 3 = 117
  • 117 – 5 = 112
  • 112 – 7 = 105
  • 105 – 9 = 96
  • 96 – 11 = 85
  • 85 – 13 = 72
  • 72 – 15 = 57
  • 57 – 17 = 40
  • 40 – 19 = 21
  • 21 – 21 = 0.

संख्या 121 में से 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर 11 वाँ पद 0 प्राप्त होता है।
अतः संख्या 121 पूर्ण वर्ग संख्या है। इसका वर्गमूल 11 है।
= 11

2. संख्या 55 से 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर,

  • 55 – 1 = 54
  • 54 – 3 = 51
  • 51 – 5 = 46
  • 46 – 7 = 39
  • 39 – 9 = 30
  • 30 – 11 = 19
  • 19 – 13 = 6
  • 6 – 15 = – 9.

यह दर्शाता है कि संख्या 55 को संख्या 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता हैं। अतः 55 पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

3. संख्या 36 से 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर,

  • 36 – 1 = 35
  • 35 – 3 = 32
  • 32 – 5 = 27
  • 27 – 7 = 20
  • 20 – 9 = 11
  • 11 – 11 = 0

संख्या 36 से 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर, 6 वाँ पद शून्य प्राप्त होता है। अतः संख्या 36 पूर्ण वर्ग संख्या है। इसका वर्गमूल 6 है। = 6

4. संख्या 49 से 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर,

  • 49 – 1 = 48
  • 48 – 3 = 45
  • 45 – 5 = 40
  • 40 – 7 = 33
  • 33 – 9 = 24
  • 24 – 11 = 13
  • 13 – 13 = 0.

संख्या 49 को संख्या 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर 7 वाँ पद 0 प्राप्त होता है।
अत: यह संख्या पूर्ण वर्ग संख्या है। इसका वर्गमूल 7 है। = 7

5. संख्या 90 से 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं के घटाने पर,

  • 90 – 1 = 89
  • 89 – 33 = 86
  • 86 – 5 = 81
  • 81 – 73 = 74
  • 74 – 9 = 65
  • 65 – 11 = 54
  • 54 – 13 = 41
  • 41 – 15 = 26
  • 26 – 17 = 9
  • 9 – 19 = – 10

यह दर्शाता है कि संख्या 90 को 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। अतः 90 पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.2