Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.2
प्रश्न 1.
आकृति (i) और (ii) में, DE || BC है। (i) में EC और (ii) में AD ज्ञात कीजिए :
हल-
(i) में ΔABC में DE || BC ……(दिया है)
[आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के प्रयोग से]
(ii) ΔABC में, DE || BC …..(दिया है)
[आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के प्रयोग से]
∴ AD = 2.4 cm
प्रश्न 2.
किसी ΔPQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिन्दु E और F स्थित हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF || QR है :
(i) PE = 3.9 सेमी., EQ = 3 सेमी., PF = 3.6 सेमी. और FR = 2.4 सेमी.
(ii) PE = 4 सेमी., QE = 4.5 सेमी., PF = 8 सेमी. और RF = 9 सेमी.
(iii) PQ = 1.28 सेमी., PR = 2.56 सेमी., PE = 0.18 सेमी. और PF = 0.36 सेमी.
हल-
प्रश्नानुसार ΔPQR में दो बिन्दु क्रमशः E और F भुजाओं PQ और PR पर स्थित हैं। अतः
(i) PE = 3.9 सेमी., EQ = 3 सेमी., PF = 3.6 सेमी., FR = 2.4 सेमी.
∴ EF, QR के समान्तर नहीं है।
(ii) PE = 4 सेमी., QE = 4.5 सेमी., PF = 8 सेमी. और RF = 9 सेमी.
∴ आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के विलोम से EF || QR
(iii) PQ = 1.28 सेमी., PR = 2.56 सेमी., PE = 0.18 सेमी., PF = 0.36 सेमी.
EQ = PQ – PE = 1.28 – 0.18 = 1.10 सेमी.
FR = PR – PF = 2.56 – 0.36 = 2.20 सेमी.
∴ आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय के विलोम से EF || QR
प्रश्न 3.
आकृति में यदि LM || CB और LN || CD हो, तो सिद्ध कीजिए कि
हल-
प्रश्न 4.
हल-
प्रश्न 5.
आकृति में DE || OQ और DF || OR है।| दर्शाइए कि EF || QR है।
हल-
प्रश्न 6.
आकृति में क्रमशः OP, OQ और OR पर स्थित बिन्दु A, B और C इस प्रकार हैं कि AB || PQ और AC || PR है। दर्शाइए कि BC || QR है।
हल-
दिया है : ∆PQR में बिन्दु A, B और C क्रमशः OP, OQ और OR पर इस प्रकार स्थित हैं कि AB || PQ, AC || PR
सिद्ध करना है : BC || QR
उपपत्ति : ∆OPQ में,
∴ आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम से, ∆OQR में BC || QR है। (इतिसिद्धम्)
प्रश्न 7.
प्रमेय 6.1 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिन्दु से होकर दूसरी भुजा के समान्तर खींची गई रेखा तीसरी भजा को समद्विभाजित करती है। (याद कीजिए कि आप इसे कक्षा IX में सिद्ध कर चुके हैं।)
हल-
दिया है : ∆ABC में, D, AB का मध्य बिन्दु है अर्थात् AD = DB है।
BC के समान्तर रेखा l, AC को E पर तथा AB को D पर प्रतिच्छेद करती है अर्थात् DE || BC है।
प्रश्न 8.
प्रमेय 6.2 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए . कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समान्तर होती है (याद कीजिए कि आप कक्षा IX में ऐसा कर चुके हैं)।
हल-
दिया है : ∆ABC में, D और E क्रमशः AB और AC के मध्य-बिन्दु हैं जिससे कि AD = BD और AE = EC हैं।
D और E को मिलाया गया है।
प्रश्न 10.
सिद्ध करना है : चतुर्भुज ABCD एक समलम्ब है।
रचना : ‘O’ से रेखा EO || AB खींची, जो AD को E पर मिलती है।
उपपत्ति : ∆DAB में,
EO || AB
[आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के प्रयोग से]
∴ आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के प्रयोग से
EO || DC
साथ ही, EO || AB
⇒ AB || DC
∴ चतुर्भुज ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB || CD (इतिसिद्धम्)