Chapter 6 रेखाएँ और कोण Ex 6.1
प्रश्न 1.
आकृति में, रेखाएँ AB और CD बिन्दु 0 पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠AOC + ∠BOE = 70° है और ∠BOD = 40° है, तो ∠BOE और प्रतिवर्ती ∠COE ज्ञात कीजिए।
हल:
आकृति के अनुसार ∠AOC + ∠COE + ∠BOE = 180° (क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
या (∠AOC + ∠BOE) + ∠COE = 180°
या 70° + ∠COE = 180°
या ∠COE = 180° – 70°
∴ ∠COE = 110°
प्रतिवर्ती ∠COE = 360° – ∠COE
= 360° – 110°
= 250°
इसलिए प्रतिवर्ती ∠COE = 250°
पुनः ∠COE + ∠BOE + ∠BOD = 180° (क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
या 110° + ∠ BOE + 40° = 180°
या ∠ BOE = 180° – 110° – 40°
या ∠BOE = 30°
प्रश्न 2.
आकृति में, रेखाएँ XY और MN बिन्दु ० पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠POY = 90° और ab = 2 : 3 है, तो c ज्ञात कीजिए।
हल:
चित्रानुसार
∠POX + ∠POY = 180°
(क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
या ∠POX + 90° = 180°
या ∠POX = 180° – 90°
या ∠POX = 90°
अब मान लिया कि a = 2k और b = 3k जहाँ k अचर है और k > 0
∠POX = 90°
या a + b = 90°
या 2k + 3k = 90°
या 5k = 90°
या k = 90/5 = 18°
अतः a = 2k तथा b = 3k
या a = 2 × 18°
या b = 3 × 18°
या a = 36° या b = 54°
अब पुनः ∠MOX + ∠NOX = 180° (क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
या b + c = 180°
या 54° + c = 180°
या c = 180° – 54°
या c = 126°
अतः अभीष्ट c का माप = 126°
प्रश्न 3.
आकृति में, यदि ∠PQR = ∠PRQ है, तो सिद्ध कीजिए कि ∠PQS = ∠PRT है।
हल:
प्रश्न में दी गई आकृति के अनुसार
∠PQS + ∠PQR = 180° ……….. (i) (
क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
तथा ∠PRT + ∠PRQ = 180° …..(ii)
(क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
अब समीकरण (i) व (ii) के अनुसार
∠PQS + ∠PQR = ∠PRT + ∠PRQ ………(iii)
लेकिन प्रश्न में दिया है
∠PQR = ∠PRO
∴ समीकरण (iii) को इस प्रकार लिखा जा सकता है
∠PQS + ∠PQR = ∠PRT + ∠PQR
या ∠PQS = ∠PRT + ∠PQR – ∠PQR
या ∠PQS = ∠PRT (इति सिद्धम् )
प्रश्न 4.
आकृति में, यदि x + y = w + z है, तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक रेखा है।
हल:
प्रश्न में दी गई आकृति के अनुसार
∠AOC + ∠BOC + ∠DOB + ∠AOD = 360°
या x + y + w+ z = 360°
या x + y + x + y = 360°
[∵ x + y = w + 2 प्रश्न में दिया है]
या 2x + 2y = 360°
या 2(x + y) = 360°
या x + y = 360/2 = 180°
या x + y = 180° (∵ ये रैखिक युग्म हैं)
या ∠BOC + ∠AOC = 180°
इससे यह प्रदर्शित होता है कि OC, ∠AOC और ∠BOC की उभयनिष्ठ भुजा है जो रैखिक युग्म बनाते हैं। अत: AOB एक रेखा है। (इति सिद्धम् )
प्रश्न 5.
आकृति में, POQ एक रेखा है। किरण OR रेखा PQ पर लम्ब है। किरणों OP और OR के बीच में Os एक अन्य किरण है। सिद्ध कीजिए
∠ROS = 1/2(∠QOS – ∠POS)
हल:
प्रश्न में दी गई आकृति के अनुसार
∠ POR + ∠ QOR = 180°
(क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
या ∠POR + 90° = 180°
या ∠ POR = 180° – 90°
या ∠POR = 90°
या ∠ POS + ∠ ROS = 90°
या ∠ ROS = 90° – POS …..(i)
पुनः ∠ POS + ∠Qos = 180° …..(ii)
(क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
2∠POS को (ii) के दोनों पक्षों में से घटाने पर
∠POS + ∠QOs – 2 ∠POS = 180° – 2 ∠POS
या ∠QOS – ∠ POS = 2 (90 – ∠ POS)
या (∠QOS – ∠ POS) = 90° – ∠ POS …….(iii)
अब समीकरण (i) व (iii) से
∠ROS = 1/2(∠ QOS – < POS) (इतिसिद्धम्)
प्रश्न 6.
यह दिया है कि ∠XYZ = 64° है और XY को बिन्दु P तक बढ़ाया गया है। दी हुई सूचना से एक आकृति खींचिए। यदि किरण YQ, ∠ZYP को समद्विभाजित करती है, तो ∠XYQ और प्रतिवर्ती ∠QYP के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न के अनुसार XY को P बिन्दु तक बढ़ाया गया है। इसका अर्थ होगा कि XP एक सरल रेखा है।
अतः ∠XYZ + ∠ZYP = 180°
(क्योंकि ये रैखिक युग्म हैं)
या 64° + ∠ZYP = 180°
या ∠ZYP = 180° – 64°
या ∠ZYP = 116° …..(i)
प्रश्नानुसार यह भी दिया है कि YQ, ∠ZYP को समद्विभाजित करती है।
[समीकरण (i) के प्रयोग से]
या ∠ZYQ = ∠ QYP
= 58° …..(ii)
या ∠QYP = 58°
अब ∠XYQ = ∠XYZ + ∠ZYQ
या ∠XYQ = 64° + 58°
या ∠XYQ = 122°
समीकरण (ii) के अनुसार
∠∠YQ = ∠QYP
∵ ∠XYZ = 64° (प्रश्नानुसार)
तथा ∠∠YQ = 58°
∴ प्रतिवर्ती ∠QYP = 360° – ∠QYP
या प्रतिवर्ती ∠QYP = 360° – 58°
या प्रतिवर्ती ∠QYP = 302°