Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.1

Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्गों के इकाई के अंक क्या होंगे?

1. 81
2. 272
3. 799
4. 3853
5. 1234
6. 26387
7. 52698
8. 99880
9. 12796
10. 55555

उत्तर:
संख्याओं के वर्गों के इकाई अंक –

1. 1
2. 4
3. 1
4. 9
5. 6
6. 9
7. 4
8. 0
9. 6
10. 5

प्रश्न 2.
निम्नलिखित संख्याएँ स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग संख्याएँ नहीं हैं, इसका कारण दीजिए –

1. 1057
2. 23453
3. 7928
4. 222222
5. 64000
6. 89722
7. 222000
8. 505050.

हल:
(a) ऐसी संख्या जो 2, 3, 7 या 8 पर समाप्त होती है, पूर्ण वर्ग संख्या नहीं हो सकती।
(b) ऐसी संख्या जिनके अन्त में विषम शून्य हों, पूर्ण वर्ग संख्या नहीं हो सकती।

1. दी हुई संख्या 1057, 7 पर समाप्त होती है। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।
2. दी हुई संख्या 23453, 3 पर समाप्त होती है। अतः पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।
3. दी हुई संख्या 7928, 8 पर समाप्त होती है। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।
4. दी हुई संख्या 222222, 2 पर समाप्त होती है। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।
5. दी हुई संख्या 64000 के अन्त में विषम संख्या में शून्य हैं। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।
6. दी हुई संख्या 89722, 2 पर समाप्त होती है। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।
7. दी हुई संख्या 222000 में विषम संख्या में शून्य हैं। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।
8. दी हुई संख्या 505050 के अन्त में विषम संख्या में शून्य है। अत: यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित संख्याओं में से किस संख्या का वर्ग विषम संख्या होगा?

1. 431
2. 2826
3. 7779
4. 82004.

हल:
संख्याओं (1) 431 एवं (3) 7779 का वर्ग विषम संख्या होगा।

प्रश्न 4.
निम्न प्रतिरूप का अवलोकन कीजिए और रिक्त स्थान भरिए –

हल:

प्रश्न 5.
निम्न प्रतिरूप का अवलोकन कीजिए और रिक्त स्थान भरिए –

हल:

प्रश्न 6.
दिए गए प्रतिरूप का उपयोग करते हुए लुप्त संख्याओं को प्राप्त कीजिए –

• 1² + 2² + 2² = 3²
• 2² + 3² + 6² =7²
• 3² + 4² + 12² = 13²
• 4² + 5² + …..² = 21²
• 5² + …² + 30² = 31²
• 6² + 7² + …..² = ……²

हल:
लुप्त संख्याएँ निम्नलिखित हैं –

• 4² + 5² + 20² = 21²
• 5² + 6² + 30² = 31²
• 6² + 7² + 42² = 43³

प्रतिरूप प्राप्त कीजिए –

तीसरी संख्या पहली और दूसरी से सम्बन्धित है। कैसे? चौथी संख्या तीसरी संख्या से सम्बन्धित है। कैसे?

• (1 x 2)² = 2² – (2 + 1)² = 3²
• (2 x 3)² = 6² – (6 + 1)² = 7²
• (3 x 4)² = 12² – (12 + 1)² = 13²
• (4 x 5)² = 20² – (20 + 1)² = 21²
• (5 x 6)² = 30² – (30 + 1)² = 31²
• (6 x 7)² = 42² – (42 + 1)² = 43²

प्रश्न 7.
योगसंक्रिया किए बिना योगफल ज्ञात कीजिए –

1. 1 + 3 + 5 + 7 + 9
2. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19
3. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23.

हल:
1. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = प्रथम पाँच विषम संख्याओं का योग
= 5² = 25

2. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = प्रथम 10 विषम संख्याओं का योग
= 10² = 100

3. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 = प्रथम 12 विषम संख्याओं का योग
= 122 = 144

प्रश्न 8.

1. 49 को 7 विषम संख्याओं के योग के रूप में लिखिए।
2. 121 को 11 विषम संख्याओं के योग के रूप में लिखिए।

हल:

1. 49 = 7² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
2. 121 = 11² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21

प्रश्न 9.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग के बीच में कितनी संख्याएँ हैं?

1. 12 और 13
2. 25 और 26
3. 99 और 100

हल:

1. 12² और 13² के बीच में संख्याएँ = 2 x 12 = 24
2. 25² और 26² के बीच में संख्याएँ = 2 x 25 = 50
3. 99² और 100² के बीच में संख्याएँ = 2 x 99 = 198

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 104

प्रश्न 1.
अब क्या आप 95 का वर्ग प्राप्त कर सकते हैं?
हल:
हाँ, 95² = (9 x 10) सैकड़े + 25
= 9000 + 25 = 9025

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.11)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग ज्ञात कीजिए जिनके इकाई अंक 5 हैं –

1. 15
2. 95
3. 105
4. 205

हल:
1. 15² = (1 x 2) सैकड़े + 25
= 200 + 25 = 225

2. 95² = (9 x 10) सैकड़े + 25
= 9000 + 25 = 9025

3. 105² = (10 x 11) सैकड़े + 25
= 11000 + 25 = 11025

4. 205² = (20 x 21) सैकड़े + 25
= 42000 + 25 = 42025

पाइथागोरस त्रिक

प्रश्न 1.
आप इस प्रकार के कुछ और त्रिक प्राप्त कर सकते हैं?
किसी प्राकृत संख्या m > 1 के लिए हम पाते हैं (2m)² + (m² – 1²) = (m² + 1²)
अत: 2m, m² – 1 और m + 1 पाइथागोरस त्रिक के रूप में हैं।
इस रूप का उपयोग करते हुए कुछ और पाइथागोरस त्रिक ज्ञात कीजिए।
हल:
हाँ, इस नियम का उपयोग करते हुए कुछ और त्रिक प्राप्त कर सकते हैं।
किसी प्राकृत संख्या m > 1 के लिए, हम 2m, m² – 1 और m² + 1 पाइथागोरस त्रिक प्राप्त करते हैं।
कुछ पाइथागोरस त्रिक निम्न हैं –

1. 8, 15, 17
2. 18, 80, 82
3. 14,48, 50 इत्यादि।