Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.3

Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्गमूल ज्ञात करने में इकाई अंक की क्या सम्भावना है –

1. 9801
2. 99856
3. 998001
4. 657666025

हल:

संख्याओं के वर्गमूल में इकाई अंक की सम्भावना –

1. 9801 में 1 या 9
2. 99856 में 4 या 6
3. 998001 में 1 या 9
4. 657666025 में 5

प्रश्न 2.
बिना गणना किए वह संख्या बताएँ जो वास्तव में पूर्ण वर्ग नहीं है –

1. 153
2. 257
3. 408
4. 441.

हल:
संख्या (i) 153, (ii) 257, तथा (iii) 408 पूर्ण वर्ग नहीं है।

प्रश्न 3.
बार-बार घटाने की विधि से 100 और 169 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
हल:
1. 100 से 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं के घटाने पर,

• 100 – 1 = 99
• 99 – 3 = 96
• 96 – 5 = 91
• 91 – 7 = 84
• 84 – 9 = 75
• 75 – 11 = 64
• 64 – 13 = 51
• 51 – 15 = 36
• 36 – 17 = 19
• 19 – 19 = 0

संख्या 100 से क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर 10वाँ पद शून्य (0) प्राप्त होता है।
अतः = 10

2. 169 से 1 से प्रारम्भ करके क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर,

• 169 – 1 = 168
• 168 – 3 = 165
• 165 – 5 = 160
• – 160 – 7 = 153
• 153 – 9 = 144
• 144 – 11 = 133
• 133 – 13 = 120
• 120 – 15 = 105
• 105 – 17 = 88
• 88 – 19 = 69
• 69 – 21 = 48
• 48 – 23 = 25
• 25 – 25 = 0.

संख्या 169 से क्रमागत विषम संख्याओं को घटाने पर 13वाँ पद शून्य (0) प्राप्त होता है। अतः = 13

प्रश्न 4.
अभाज्य गुणनखण्ड विधि से निम्न संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात कीजिए –

1. 729
2. 400
3. 1764
4. 4096
5. 7744
6. 9604
7. 5929
8. 9216
9. 529
10. 8100

हल:
1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

प्रश्न 5.
निम्नलिखित संख्याओं में प्रत्येक के लिए वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए जिससे इस संख्या को गुणा करने पर यह एक पूर्ण वर्ग संख्या बन जाए। इस पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए –

1. 252
2. 180
3. 1008
4. 2028
5. 1458
6. 768

हल:
1.

हम जानते हैं कि पूर्ण वर्ग संख्या में प्रत्येक पद के जोड़े बनते हैं।
परन्तु यहाँ 7 का जोड़ा नहीं है। अतः यदि 252 में 7 का गुणा कर दें तो संख्या पूर्ण वर्ग बन जाएगी।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 7 होगी।
गुणा करने पर प्राप्त संख्या = 252 x 7 = 1764

2.

अतः दी गई संख्या में 5 का जोड़ा नहीं बन रहा है। जोड़ा बनाने के लिए 5 का गुणा करना आवश्यक है।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 5 होगी।
गुणा करने पर प्राप्त संख्या = 180 x 5 = 900

3.

अतः दी गई संख्या में 7 का जोड़ा नहीं बन रहा है। जोड़ा बनाने के लिए 7 का गुणा करना चाहिए।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 7 होगी।
गुणा करने पर प्राप्त संख्या = 1008 x 7 = 7056

4.

अतः दी गई संख्या में 3 का जोड़ा नहीं बन रहा है। जोड़ा बनाने के लिए 3 का गुणा करेंगे।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 3 होगी।
गुणा करने पर प्राप्त संख्या = 2028 x 3 = 6084

5.

अतः दी गई संख्या में 2 का जोड़ा नहीं बन रहा है। जोड़ा बनाने के लिए 2 का गुणा करना पड़ेगा।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 2 होगी।
गुणा करने पर प्राप्त संख्या= 1458 x 2 = 2916

6.

अतः दी हुई संख्या में 3 का जोड़ा नहीं बन रहा है। जोड़ा बनाने के लिए 3 का गुणा करना पड़ेगा।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 3 होगी। गुणा करने पर प्राप्त संख्या = 768 x 3

प्रश्न 6.
निम्नलिखित संख्याओं में प्रत्येक के लिए सबसे छोटी पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए जिससे इस संख्या को भाग देने पर वह एक पूर्ण संख्या बन जाए। इस तरह ज्ञात की गई संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।

1. 252
2. 2925
3. 396
4. 2645
5. 2800
6. 1620

हल:
1.

इसे पूर्ण संख्या बनाने के लिए 7 का भाग करना होगा।
∴ सबसे छोटी पूर्ण वर्ग संख्या 7 होगी।
भाग देने पर प्राप्त संख्या = 36

2.

इसे पूर्ण संख्या बनाने के लिए 13 से भाग करना होगा।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 13 होगी।
भाग देने पर प्राप्त संख्या = 225

3.

इसे पूर्ण संख्या बनाने के लिए 11 से भाग करना होगा।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 11 होगी।
भाग देने पर प्राप्त संख्या = 36

4.

इसे पूर्ण संख्या बनाने के लिए 5 से भाग करना होगा।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 5 होगी।
भाग देने पर प्राप्त संख्या = 529

5.

इसे पूर्ण संख्या बनाने के लिए 7 से भाग करना होगा।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 7 होगी।
भाग देने पर प्राप्त संख्या = 400

6.

इसे पूर्ण संख्या बनाने के लिए 5 से भाग करना होगा।
∴ सबसे छोटी पूर्ण संख्या 5 होगी।
भाग देने पर प्राप्त संख्या = 324

प्रश्न 7.
एक विद्यालय में कक्षा VIII के सभी विद्यार्थियों ने प्रधानमन्त्री राहत कोष में ₹ 2,401 दान में दिए। प्रत्येक विद्यार्थी ने उतने ही रुपये दान में दिए जितने कक्षा में विद्यार्थी थे। कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या = x है।
अतः विद्यार्थियों द्वारा दान में दी गई कुल धनराशि = ₹ x × x = ₹ x² परन्तु राहत कोष में दिए गए रुपये = ₹ 2,401

अतः कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या = 49 है।

प्रश्न 8.
एक बाग में 2025 पौधे इस प्रकार लगाए जाने हैं कि प्रत्येक पंक्ति में उतने ही पौधे हों, जितनी पंक्तियों की संख्या हो। पंक्तियों की संख्या और प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि पंक्तियों की संख्या = x है।
और प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या = x
∴ कुल पौधों की संख्या =x × x = x²
लेकिन पौधों की संख्या = 2025
अब, प्रश्नानुसार,

अतः पंक्तियों की अभीष्ट संख्या = 45 तथा प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या = 45

प्रश्न 9.
वह सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो 4, 9 और 10 प्रत्येक से विभाजित हो जाए।
हल:
वह सबसे छोटी वर्ग संख्या जो 4, 9 और 10 प्रत्येक से विभाजित हो जाए, 4, 9 और 10 का ल. स. होगी।

इस संख्या को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए 5 से गुणा करना पड़ेगा।
∴ सबसे छोटी अभीष्ट वर्ग संख्या = 180 x 5 = 900

प्रश्न 10.
वह सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो प्रत्येक 8, 15 और 20 से विभाजित हो जाए।
हल:
8, 15 और 20 से विभाजित होने वाली पूर्ण वर्ग संख्या 8, 15 और 20 का ल. स. होगी।

इसे पूर्ण बर्ग बनाने के लिए 2 x 3 x 5 = 30 से गुणा करना पड़ेगा।
∴ सबसे छोटी अभीष्ट वर्ग संख्या = 120 x 30
= 3600

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 110

प्रश्न 1.
क्या आप हमें 5 या 6 अंकों वाली संख्या के वर्गमूल में अंकों की संख्या बता सकते हैं?
हल:
हाँ, 5 या 6 अंकों वाली संख्या के वर्गमूल में अंकों की संख्या 3 होगी।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 111

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (क्रमांक 6.2)

प्रश्न 1.
क्या हम कह सकते हैं कि एक पूर्ण वर्ग संख्या में यदि n अंक हैं तो उसके वर्गमूल में अंक होंगे। यदि n सम है या () होंगे यदि n विषम है?
हल:
हाँ, हम कह सकते हैं कि यदि n अंकों की कोई पूर्ण वर्ग संख्या है, तो उसके वर्गमूल में –

1. अंक होंगे यदि n सम है तथा
2. अंक होंगे यदि () विषम है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 112

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.14)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्गमूल में अंकों की संख्या को गणना के बिना ज्ञात कीजिए –

1. 25600
2. 100000000
3. 36864

हल:

1. क्योंकि संख्या 25600 में 5 अंक हैं, अतः इसके वर्गमूल में अंकों की संख्या अर्थात् 3 अंक होगी।
2. क्योंकि संख्या 100000000 में अंकों की संख्या = 9, अतः इसके वर्गमूल में अंकों की संख्या अर्थात् 5 अंक होगी।
3. क्योंकि संख्या 36864 में अंकों की संख्या = 5, अत: इसके वर्गमूल में अंकों की संख्या = , अर्थात् 3 अंक होगी।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 115

प्रयास कीजिए (क्रमांक 6.15)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं के निकटतम पूर्ण संख्याओं का अनुमान लगाइए –

हल:
1. हम जानते हैं कि –
64 < 80 < 81
8 < < 9
∵ 81, 80 से अधिक निकटतम है।
∴ निकटतम पूर्ण संख्या = 9

2. हम जानते हैं कि –
31² और 32² = 1024
31² < 32
∵ 1000, 1024 के अधिक निकटतम है
∴ निकटतम पूर्ण संख्या = 32

3. हम जानते हैं कि –
18² = 324 और 19² = 361
18 < < 19
क्योंकि 350, 324 की अपेक्षा 361 के अधिक नजदीक है।
∴ निकटतम पूर्ण संख्या = 19

4. हम जानते हैं कि –
22² = 484 और 23² = 529
22 < < 23
∴ 500, 529 की अपेक्षा 484 के अधिक निकट है।
∴ निकटतम पूर्ण संख्या = 22