Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.2
प्रश्न 1.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो बिन्दुओं (-1, 7) और (4, -3) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
हल-
माना कि P(x, y) अभीष्ट बिन्दु है जो दिए गए बिन्दुओं A(-1, 7) और B(4, -3) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः अभीष्ट बिन्दु = P(1, 3)
प्रश्न 2.
बिन्दुओं (4, -1) और (-2, -3) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को सम-त्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि P(x1, y1) और Q(x2, y2) अभीष्ट बिन्दु हैं जो बिन्दुओं A(4, -1) और (-2, -3) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करते हैं अर्थात् P(x1, y1) AB को 1 : 2 के अनुपात में और Q(x2, y2) AB को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करते हैं।
प्रश्न 3.
आपके स्कूल में खेलकूद क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए, एक आयताकार मैदान ABCD में, चूने से परस्पर 1 m की दूरी पर पंक्तियाँ बनाई गई हैं। AD के अनुदिश परस्पर 1 m की दूरी पर 100 गमले रखे गए हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के 1414 भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा झण्डा गाड़ देती है। प्रीत आठवीं पंक्ति में AD के 1515 भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक लाल झण्डा गाड़ देती है। दोनों झण्डों के बीच की दूरी क्या है? यदि रश्मि को एक नीला झण्डा इन दोनों झण्डों को मिलाने वाले रेखाखण्ड पर ठीक आधी दूरी (बीच में) पर गाड़ना हो तो उसे अपना झण्डा कहाँगाड़ना चाहिए?
हल-
प्रश्न 4.
बिन्दुओं (-3, 10) और (6, -8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु (-1, 6) किस अनुपात में विभाजित करता है?
हल-
माना कि बिन्दु P(-1, 6) बिन्दुओं A(-3, 10) और B(6, -8) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को K : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।
प्रश्न 5.
वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिन्दुओं A(1, -5) और B(-4, 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड x-अक्ष से विभाजित होता है। इस विभाजन बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि x-अक्ष पर अभीष्ट बिन्दु P(x, 0) है जो A(1, -5) और B(-4, 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को K : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।
प्रश्न 6.
यदि बिन्दु (1, 2); (4, y); (x, 6) और (3, 5) इसी क्रम में लेने पर, एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हों तो x और y ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि समान्तर चतुर्भुज ABCD के शीर्ष A(1, 2); B(4, y); C(x, 6) और D(3, 5) हैं।
परन्तु समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित होते हैं।
प्रथम स्थिति- जब E, A(1, 2) और C(x, 6) का मध्य बिन्दु हो।
प्रश्न 7.
बिन्दु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केन्द्र (2, -3) है तथा B के निर्देशांक (1, 4) हैं।
हल-
माना कि A के निर्देशांक (x, y) हैं।
परन्तु, व्यास के शीर्षों का मध्यबिन्दु केन्द्र होता है।
∴ O, A(x, y) और B(1, 4) का मध्य बिन्दु है।
प्रश्न 8.
यदि A और B क्रमशः (-2, -2) और (2, -4) हो तो बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि AP = 3/7 AB हो और P रेखाखण्ड AB पर स्थित हो।
हल-
∴ P(x, y) दिए गए बिन्दुओं A और B को 3 : 4 के अनुपात में विभाजित करता है:
अन्त:विभाजन सूत्र
प्रश्न 9.
बिन्दुओं A(-2, 2) और B(2, 8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि C, D और E अभीष्ट बिन्दु हैं जो ‘बिन्दुओं A(-2, 2) और B(2, 8) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को चार बराबर भागों में विभाजित करते हैं।
तब D, A और B का मध्य बिन्दु है; C, A और D का मध्य बिन्दु है;
E, D और B का मध्य बिन्दु है, ताकि AC = CD = DE = EB
अब, A और B का मध्य बिन्दु (अर्थात् D के निर्देशांक)
प्रश्न 10.
एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में (3, 0), (4, 5), (-1, 4) और (-2, -1) हैं।
[संकेत : समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 (उसके विकर्णों का गुणनफल)]
हल-
माना कि समचतुर्भुज ABCD के शीर्ष बिन्दु A(3, 0); B(4, 5); C(-1, 4) और D(-2, -1) हैं।
अतः, समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 24 वर्ग मात्रक है।