Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.4
प्रश्न 1.
बिन्दुओं A(2, -2) और B(3, 7) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को रेखा 2x + y – 4 = 0 जिस अनुपात में विभाजित करती है उसे ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि रेखा 2x + y – 4 = 0 बिन्दुओं A(2, -2) और B(3, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को C(x, y) पर k : 1 के अनुपात में विभाजित करती है।
प्रश्न 2.
x और y में एक सम्बन्ध ज्ञात कीजिए, यदि बिन्दु (x, y), (1, 2) और (7, 0) संरेखी हैं।
हल-
प्रश्नानुसार बिन्दु A(x, y), B(1, 2) और C(7, 0) हैं।
यहाँ x1 = x, x2 = 1, x3 = 7
y1 = y, y2 = 2, y3 = 0
यदि तीन बिन्दु संरेखी होंगे, तो
1/2 [x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2)] = 0
या 1/2 [x(2 – 0) + 1(0 – y) + 7(y – 2)] = 0
या 2x – y + 7y – 14 = 0
या 2x + 6y – 14 = 0
या x + 3y – 7 = 0 अभीष्ट सम्बन्ध हैं।
प्रश्न 3.
बिन्दुओं (6, -6), (3, -7) और (3, 3) से होकर जाने वाले वृत्त का केन्द्र ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि O(x, y) अभीष्ट केन्द्र है जो कि बिन्दुओं P(6, -6), Q(3, -7) और R(3, 3) में से गुजरता है।
∵ वृत्त की त्रिज्याएँ समान होती हैं।
OP = OQ = OR
या (OP)2 = (OQ)2 = (OR)2
अब, (OP)2 = (OQ)2
(x – 6)2 + (y + 6)2 = (x – 3)2 + (y + 7)2
या x2 + 36 – 12x + y2 + 36 + 12y = x2 + 9 – 6x + y2 + 49 + 14y
या -12x + 12y + 72 = -6x + 14y + 58
या -6x – 2y + 14 = 0
या 3x + y – 7 = 0 ….(i)
अब, (OQ)2 = (OR)2
या (x – 3)2 + (y + 7)2 = (x – 3)2 + (y – 3)2
या (y + 7)2 = (y – 3)2
या y2 + 49 + 14y = y2 + 9 – 6y
या 20y = -40
या y = -2
y के इस मान को (i) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
3x – 2 – 7 = 0
या 3x – 9 = 0
या 3x = 9
या x = 3
∴ अभीष्ट केन्द्र (3, -2) है।
प्रश्न 4.
किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1, 2) और (3, 2) हैं। वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि वर्ग ACBD के दो सम्मुख शीर्ष A(-1, 2) और B(3, 2) हैं तथा C का निर्देशांक (x, y) है।
∵ वर्ग की प्रत्येक भुजा की लम्बाई समान होती है।
∴ AC = BC
या (AC)2 = (BC)2
या (x + 1)2 + (y – 2)2 = (x – 3)2 + (y – 2)2
या (x + 1)2 = (x – 3)2
या x2 + 1 + 2x = x2 + 9 – 6x
या 8x = 8
या x = 1 ….(i)
अब समकोण ∆ACB में, पाइथागोरस प्रमेय से
(AC)2 + (BC)2 = (AB)2
(x + 1)2 + (y – 2)2 + (x – 3)2 + (y – 2)2 = (3 + 1)2 + (2 – 2)2
या x2 + 1 + 2x + y2 + 4 – 4y + x2 + 9 – 6x + y2 + 4 – 4y = 16
या 2x2 + 2y2 – 4x – 8y + 2 = 0
या x2 + y2 – 2x – 4y + 1 = 0
x = 1 (i) से प्राप्त x के मान को प्रतिस्थापित करने पर
(1)2 + (y)2 – 2(1) – 4y + 1 = 0
या y2 – 4y = 0
या y(y – 4) = 0
या y = 0 या y – 4 = 0
या y = 0 या y = 4
∴ y = 0, 4
अतः वर्ग के शेष दोनों शीर्ष (1, 0) और (1, 4) हैं।
प्रश्न 5.
कृष्णानगर के एक सैकेंडरी स्कूल के कक्षा X के विद्यार्थियों को उनके बागवानी क्रियाकलाप के लिए, एक आयताकार, भूखण्ड दिया गया है। गुलमोहर की पौध (sapling) को परस्पर 1 m की दूरी पर इस भूखण्ड की परिसीमा (boundary) पर लगाया जाता है। इस भूखण्ड के अन्दर एक त्रिभुजाकार घास लगा हुआ लॉन (lawn) है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। विद्यार्थियों को भूखण्ड के शेष भाग में फूलों के पौधे के बीज बोने हैं।
(i) A को मूलबिन्दु मानते हुए, त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि मूलबिन्दु C हो, तो ∆PQR के शीर्षों के निर्देशांक क्या होंगे?
साथ ही, उपर्युक्त दोनों स्थितियों में, त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। आप क्या देखते हैं?
हल-
प्रथम स्थिति- जब A को मूल बिन्दु लें तो AD; X-अक्ष और AB; Y-अक्ष हैं।
∴ त्रिभुजाकार घास के लॉन PQR के निर्देशांक P(4, 6), Q(3, 2) और R(6, 5) हैं।
द्वितीय स्थिति- जब C को मूल बिन्दु लें तो CB; X-अक्ष है और CD; Y-अक्ष लेते हैं।
∴ त्रिभुजाकार घास के लॉन PQR के निर्देशांक हैं : P(-12, -2), Q(-13, -6) और R(-10, -3)
उपर्युक्त दोनों स्थितियों से स्पष्ट है कि त्रिभुजाकार घास के लॉन का क्षेत्रफल एकसमान है।
प्रश्न 6.
एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A(4, 6); B(1, 5) और C(7, 2) हैं। भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींची गई है कि
है। ∆ADE का क्षेत्रफल परिकलित कीजिए और इसकी तुलना ∆ABC के क्षेत्रफल से कीजिए। (प्रमेय 6.2 और प्रमेय 6.6 का स्मरण कीजिए।)
हल-
∆ABC के शीर्ष A(4, 6), B(1, 5) और C(7, 2) हैं।
भुजाओं AB और AC को क्रमशः D(x1, y1) और E(x2, y2) पर काटती हुई रेखा इस प्रकार खींचिए ताकि
दिया गया है
प्रश्न 7.
मान लीजिए A(4, 2), B(6, 5) और C(1, 4) एक त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं।
(i) A से होकर जाने वाली माध्यिका BC से D पर मिलती है। बिन्दु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) AD पर स्थित ऐसे बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि AP : PD = 2 : 1 हो।
(iii) माध्यिकाओं BE और CF पर ऐसे बिन्दुओं Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि BQ : QE = 2 : 1 हो और CR : RF = 2 : 1 हो।
(iv) आप क्या देखते हैं?
[नोट : वह बिन्दु जो तीनों माध्यिकाओं में सार्वनिष्ठ हो, उस त्रिभुज का केन्द्रक (centroid) कहलाता है और यह प्रत्येक माध्यिका को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।]
(v) यदि A(x1, y1), B(x2, y2) और C(x3, y3) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं, तो इस त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल-
प्रश्नानुसार ∆ABC के शीर्ष A(4, 2), B(6, 5) और C(1, 4) हैं।
(i) AD, शीर्ष A से माध्यिका है।
∴ D, BC का मध्य बिन्दु है।
(ii) माना कि P(x, y), AD पर कोई बिन्दु इस प्रकार है कि AP : PD = 2 : 1
(iii) माना कि BE और CF, ∆ABC की क्रमशः AC और AB पर माध्यिकाएँ हैं।
∴ E और F क्रमश: AC और AB के मध्यबिन्दु हैं।
(iv) उपर्युक्त चर्चा से यह स्पष्ट है कि P, Q और R के निर्देशांक एक समान हैं और एक बिन्दु पर संपाती हैं। यह बिन्दु त्रिभुज का केन्द्रक कहलाता है, जो कि प्रत्येक माध्यिका को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।
(v) दी गई ∆ABC के शीर्ष A(x1, y1), B(x2, y2) और C(x3, y3) हैं।
माना कि AD, ∆ABC की माध्यिका है।
अब G, ∆ABC का केन्द्रक है जो माध्यिका AD को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।
∴ G के निर्देशांक = [(iv) का प्रयोग करने पर]
प्रश्न 8.
बिन्दुओं A(-1, -1), B(-1, 4), C(5, 4) और D(5, -1) से एक आयत ABCD बनता है। P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य बिन्दु हैं। क्या चतुर्भुज PQRS एक वर्ग है? क्या यह एक आयत है? क्या यह एक समचतुर्भुज है? सकारण उत्तर दीजिए।
हल-
प्रश्नानुसार दी गई आयत ABCD के शीर्ष हैं :
A(-1, -1), B(-1, 4), C(5, 4) और D(5, -1)
यहाँ पर चतुर्भुज PQRS की सभी भुजाएँ बराबर हैं। लेकिन इसके विकर्ण बराबर नहीं है।
∴ PQRS एक समचतुर्भुज है।