Chapter 7 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ Ex 7.1 – Rajasthan Board Passbook

Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 7 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ Ex 7.1

प्रश्न 1.

∠θ के लिए सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को sec θ के पदों में व्यक्त कीजिए।

हल:

हम जानते हैं कि

प्रश्न 2.

त्रिकोणमितीय अनुपातों sin θ, sec θ, tan θ को cot θ के पदों में व्यक्त कीजिए।

हल:

निम्नलिखित को सर्वसमिकाओं की सहायता से सिद्ध कीजिए

प्रश्न 3.

cos²θ + cos²θ . cot²θ = cot²θ

हल:

L.H.S. = cos²θ + cos²θ . cot²θ

= cos²θ6(1 + cot²θ)

= cos²θ . cosec²θ [∵ 1 + cot²θ = cosec²θ]

$=\cos ^{2} \theta \cdot \frac{1}{\sin ^{2} \theta} \quad\left[\because \csc \theta=\frac{1}{\sin \theta}\right]$

$=\frac{\cos ^{2} \theta}{\sin ^{2} \theta}=\cot ^{2} \theta$
= R.H.S

∴ L.H.S. = R.H.S. ( इतिसिद्धम् )

प्रश्न 4.

sec θ(1 – sin θ) (sec θ + tan θ) = 1

हल:

L.H.S = sec θ(1 – sin θ) (sec θ + tan θ)

प्रश्न 5.

cosec²θ + sec²θ = cosec²θ sec θ

हल:

L.H.S. = cosec²θ + sec²θ

प्रश्न 6.

$\sqrt{\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}}=\sec \theta-\tan \theta$

हल:

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प्रश्न 7.

$\sqrt{\sec ^{2} \theta+\csc ^{2} \theta}$
= tan θ+ cot θ

हल:

प्रश्न 8.

$\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{\cot \alpha+\cot \beta}$
= tan α tan β

हल:

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प्रश्न 9.

$\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{1+\sin \theta}=2 \sec \theta$

हल:

प्रश्न 10.

$\frac{\sin ^{4} \theta-\cos ^{4} \theta}{\sin ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta}=1$

हल:

प्रश्न 11.

cot θ – tan θ =
$\frac{1-2 \sin ^{2} \theta}{\sin \theta \cos \theta}$

हल:

प्रश्न 12.

cose⁴ θ + sin⁴ θ = 1 – 2 cos²θ sin²θ (माध्य शिक्षा बोर्ड मॉडल पेपर, 2017-18)

हल:

प्रश्न 13.

(sec θ – cos θ) (cot θ + tan θ) = tan θ sec θ

हल:

प्रश्न 14.

$\frac{1-\tan ^{2} \alpha}{\cot ^{2} \alpha-1}=\tan ^{2} \alpha$

हल:

प्रश्न 15.

$\frac{\sin \theta}{1-\cos \theta}=\frac{1+\cos \theta}{\sin \theta}$

हल:

प्रश्न 16.

sin⁶θ + cos⁶θ = 1 – 3 sin²θ cos²θ

हल:

L.H.S = sin⁶θ + cos⁶θ

= (sin²θ)³ + (cos²θ)³

= (sin²θ + cos²θ)[(sin²θ)² + (cos²θ)² – sin²θ cos²θ]

=(1) [sin⁴θ + cos⁴θ – sin²θ cos²θ]

= [(sin²θ)² + (cos²θ)² + 2 sin²θ cos²θ – 2 sin²θcos²θ – sin²θ cos²θ]

= [(sin²θ + cos²θ)² – 3sin²θcos²θ]

= (1)² – 3 sin²θcos²θ

= 1 – 3 sin²θ cos²θ = R.H.S

∴ L.H.S = R.H.S ( इतिसिद्धम् )

प्रश्न 17.

$\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}$
= 1 + tanθ + cotθ (माध्य शिक्षा बोर्ड, 2018)

हल:

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= 1 + tan θ + cot θ = R.H.S

∴ L.H.S = R.H.S ( इतिसिद्धम् )

प्रश्न 18.

sin θ (1 + tan θ) + cos θ(1 + cot θ) = cosec θ + sec θ

हल:

L.H.S. = sin θ(1 + tan θ) + cos θ(1 + cot θ)

प्रश्न 19.

sin²θ cos θ + tan θ sin θ + cos³θ = sec θ

हल:

L.H.S. = sin²θ cos θ + tan θ sin θ + cos²³ θ

= sin²θ cos θ + cos³θ + tan θ. sin θ

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प्रश्न 20.

$\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}$
= 1 + sec θ cosec θ

हल:

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प्रश्न 21.

(sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan²A + cot²A

हल:

L.H.S. = (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)²

= {sin² A + cosec² A + 2 sin A × cosec A}

प्रश्न 22.

sin⁸θ – cos⁸θ = (sin²θ – cos²θ) (1 – 2sin²θ cos²θ)

हल:

L.H.S. = sin⁸θ – cos⁸θ

= (sin⁴θ)² – (cos⁴θ)²

= (sin⁴θ – cos⁴θ) (sin⁴θ + cos⁴θ)

= [(sin²θ)² – (cos²θ)]² (sin⁴θ + cos⁴θ)

= (sin²θ – cos²θ) (sin²θ + cos²θ) (sin⁴θ + cos⁴θ)

= (sin²θ – cos²θ) (sin⁴θ + cos⁴θ] [:: sin²θ+ cos²θ = 1]

= (sin²θ – cos²θ) [(sin²θ)² + (cos²θ)² + 2sin²θcos²θ– 2sin²θ cos²θ]

(2 sin²θ cos²θ उपर्युक्त मे जोड़ने व घटाने पर)

= (sin²θ – cos²θ) [(sin²θ + cos²θ)² – 2 sin²θ cos²θ]

= (sin²θ – cos²θ) (1 – 2 sin²θ cos²θ)

= R.H.S.

∴ L.H.S. = R.H.S. ( इतिसिद्धम् )

प्रश्न 23.

$\sqrt{\frac{\sec \theta+1}{\sec \theta-1}}$
= cot θ + cosec θ (माध्य शिक्षा बोर्ड मॉडल पेपर, 2017-18)

हल:

प्रश्न 24.

हल:

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प्रश्न 25.

हल:

प्रश्न 26.

$\frac{\cos A}{1-\tan A}+\frac{\sin A}{1-\cot A}$
= sin A + cos A (माध्य शिक्षा बोर्ड, 2018)

हल:

प्रश्न 27.

(cosec A – sin A)(sec A – cos A) =
$\frac{1}{\tan A+\cot A}$

हल:

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प्रश्न 28.

$\frac{\cos ^{2} \theta}{1-\tan \theta}+\frac{\sin ^{3} \theta}{\sin \theta-\cos \theta}$
= 1 + sin θ cos θ

हल:

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प्रश्न 29.

यदि sec θ + tan θ = P हो, तो सिद्ध करो कि
$\frac{\mathbf{P}^{2}-1}{\mathbf{P}^{2}+1}=\sin \theta$

हल:

प्रश्न 30.

यदि
$\frac{\cos A}{\cos B}=m$
तथा
$\frac{\cos A}{\sin B}=n$
हो, तो सिद्ध कीजिए (m² +n²) cos²B = n² (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2017-18 )

हल:

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