Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 7 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ Ex 7.1
प्रश्न 1.
∠θ के लिए सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को sec θ के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि
प्रश्न 2.
त्रिकोणमितीय अनुपातों sin θ, sec θ, tan θ को cot θ के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल:
निम्नलिखित को सर्वसमिकाओं की सहायता से सिद्ध कीजिए
प्रश्न 3.
cos2θ + cos2θ . cot2θ = cot2θ
हल:
L.H.S. = cos2θ + cos2θ . cot2θ
= cos2θ6(1 + cot2θ)
= cos2θ . cosec2θ [∵ 1 + cot2θ = cosec2θ]
![=\cos ^{2} \theta \cdot \frac{1}{\sin ^{2} \theta} \quad\left[\because \csc \theta=\frac{1}{\sin \theta}\right]](https://rajboardexam.in/wp-content/uploads/2020/10/cos-2-theta-cdot-frac1-sin-2-theta.png)
= R.H.S
∴ L.H.S. = R.H.S. ( इतिसिद्धम् )
प्रश्न 4.
sec θ(1 – sin θ) (sec θ + tan θ) = 1
हल:
L.H.S = sec θ(1 – sin θ) (sec θ + tan θ)
प्रश्न 5.
cosec2θ + sec2θ = cosec2θ sec θ
हल:
L.H.S. = cosec2θ + sec2θ
प्रश्न 6.
हल:
प्रश्न 7.
= tan θ+ cot θ
हल:
प्रश्न 8.
= tan α tan β
हल:
प्रश्न 9.
हल:
प्रश्न 10.
हल:
प्रश्न 11.
cot θ – tan θ =
हल:
प्रश्न 12.
cose4 θ + sin4 θ = 1 – 2 cos2θ sin2θ (माध्य शिक्षा बोर्ड मॉडल पेपर, 2017-18)
हल:
प्रश्न 13.
(sec θ – cos θ) (cot θ + tan θ) = tan θ sec θ
हल:
प्रश्न 14.
हल:
प्रश्न 15.
हल:
प्रश्न 16.
sin6θ + cos6θ = 1 – 3 sin2θ cos2θ
हल:
L.H.S = sin6θ + cos6θ
= (sin2θ)3 + (cos2θ)3
= (sin2θ + cos2θ)[(sin2θ)2 + (cos2θ)2 – sin2θ cos2θ]
=(1) [sin4θ + cos4θ – sin2θ cos2θ]
= [(sin2θ)2 + (cos2θ)2 + 2 sin2θ cos2θ – 2 sin2θcos2θ – sin2θ cos2θ]
= [(sin2θ + cos2θ)2 – 3sin2θcos2θ]
= (1)2 – 3 sin2θcos2θ
= 1 – 3 sin2θ cos2θ = R.H.S
∴ L.H.S = R.H.S ( इतिसिद्धम् )
प्रश्न 17.
= 1 + tanθ + cotθ (माध्य शिक्षा बोर्ड, 2018)
हल:
= 1 + tan θ + cot θ = R.H.S
∴ L.H.S = R.H.S ( इतिसिद्धम् )
प्रश्न 18.
sin θ (1 + tan θ) + cos θ(1 + cot θ) = cosec θ + sec θ
हल:
L.H.S. = sin θ(1 + tan θ) + cos θ(1 + cot θ)
प्रश्न 19.
sin2θ cos θ + tan θ sin θ + cos3θ = sec θ
हल:
L.H.S. = sin2θ cos θ + tan θ sin θ + cos23 θ
= sin2θ cos θ + cos3θ + tan θ. sin θ
प्रश्न 20.
= 1 + sec θ cosec θ
हल:
प्रश्न 21.
(sin A + cosec A)2 + (cos A + sec A)2 = 7 + tan2A + cot2A
हल:
L.H.S. = (sin A + cosec A)2 + (cos A + sec A)2
= {sin2 A + cosec2 A + 2 sin A × cosec A}
प्रश्न 22.
sin8θ – cos8θ = (sin2θ – cos2θ) (1 – 2sin2θ cos2θ)
हल:
L.H.S. = sin8θ – cos8θ
= (sin4θ)2 – (cos4θ)2
= (sin4θ – cos4θ) (sin4θ + cos4θ)
= [(sin2θ)2 – (cos2θ)]2 (sin4θ + cos4θ)
= (sin2θ – cos2θ) (sin2θ + cos2θ) (sin4θ + cos4θ)
= (sin2θ – cos2θ) (sin4θ + cos4θ] [:: sin2θ+ cos2θ = 1]
= (sin2θ – cos2θ) [(sin2θ)2 + (cos2θ)2 + 2sin2θcos2θ– 2sin2θ cos2θ]
(2 sin2θ cos2θ उपर्युक्त मे जोड़ने व घटाने पर)
= (sin2θ – cos2θ) [(sin2θ + cos2θ)2 – 2 sin2θ cos2θ]
= (sin2θ – cos2θ) (1 – 2 sin2θ cos2θ)
= R.H.S.
∴ L.H.S. = R.H.S. ( इतिसिद्धम् )
प्रश्न 23.
= cot θ + cosec θ (माध्य शिक्षा बोर्ड मॉडल पेपर, 2017-18)
हल:
प्रश्न 24.
हल:
प्रश्न 25.
हल:
प्रश्न 26.
= sin A + cos A (माध्य शिक्षा बोर्ड, 2018)
हल:
प्रश्न 27.
(cosec A – sin A)(sec A – cos A) =
हल:
प्रश्न 28.
= 1 + sin θ cos θ
हल:
प्रश्न 29.
यदि sec θ + tan θ = P हो, तो सिद्ध करो कि
हल:
प्रश्न 30.
यदि
तथा
हो, तो सिद्ध कीजिए (m2 +n2) cos2B = n2 (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2017-18 )
हल:
We