Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 7 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ Ex 7.1

प्रश्न 1.

∠θ के लिए सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को sec θ के पदों में व्यक्त कीजिए।

हल:

हम जानते हैं कि

प्रश्न 2.

त्रिकोणमितीय अनुपातों sin θ, sec θ, tan θ को cot θ के पदों में व्यक्त कीजिए।

हल:

निम्नलिखित को सर्वसमिकाओं की सहायता से सिद्ध कीजिए

प्रश्न 3.

cos2θ + cos2θ . cot2θ = cot2θ

हल:

L.H.S. = cos2θ + cos2θ . cot2θ

= cos2θ6(1 + cot2θ)

= cos2θ . cosec2θ [∵ 1 + cot2θ = cosec2θ]

=\cos ^{2} \theta \cdot \frac{1}{\sin ^{2} \theta} \quad\left[\because \csc \theta=\frac{1}{\sin \theta}\right]

=\frac{\cos ^{2} \theta}{\sin ^{2} \theta}=\cot ^{2} \theta
 = R.H.S

∴ L.H.S. = R.H.S. ( इतिसिद्धम् )

प्रश्न 4.

sec θ(1 – sin θ) (sec θ + tan θ) = 1

हल:

L.H.S = sec θ(1 – sin θ) (sec θ + tan θ)

प्रश्न 5.

cosec2θ + sec2θ = cosec2θ sec θ

हल:

L.H.S. = cosec2θ + sec2θ

प्रश्न 6.

\sqrt{\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}}=\sec \theta-\tan \theta

हल:

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प्रश्न 7.

\sqrt{\sec ^{2} \theta+\csc ^{2} \theta}
 = tan θ+ cot θ

हल:

प्रश्न 8.

\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{\cot \alpha+\cot \beta}
 = tan α tan β

हल:

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प्रश्न 9.

\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{1+\sin \theta}=2 \sec \theta

हल:

प्रश्न 10.

\frac{\sin ^{4} \theta-\cos ^{4} \theta}{\sin ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta}=1

हल:

प्रश्न 11.

cot θ – tan θ = 
\frac{1-2 \sin ^{2} \theta}{\sin \theta \cos \theta}

हल:

प्रश्न 12.

cose4 θ + sin4 θ = 1 – 2 cos2θ sin2θ (माध्य शिक्षा बोर्ड मॉडल पेपर, 2017-18)

हल:

प्रश्न 13.

(sec θ – cos θ) (cot θ + tan θ) = tan θ sec θ

हल:

प्रश्न 14.

\frac{1-\tan ^{2} \alpha}{\cot ^{2} \alpha-1}=\tan ^{2} \alpha

हल:

प्रश्न 15.

\frac{\sin \theta}{1-\cos \theta}=\frac{1+\cos \theta}{\sin \theta}

हल:

प्रश्न 16.

sin6θ + cos6θ = 1 – 3 sin2θ cos2θ

हल:

L.H.S = sin6θ + cos6θ

= (sin2θ)3 + (cos2θ)3

= (sin2θ + cos2θ)[(sin2θ)2 + (cos2θ)2 – sin2θ cos2θ]

=(1) [sin4θ + cos4θ – sin2θ cos2θ]

= [(sin2θ)2 + (cos2θ)2 + 2 sin2θ cos2θ – 2 sin2θcos2θ – sin2θ cos2θ]

= [(sin2θ + cos2θ)2 – 3sin2θcos2θ]

= (1)2 – 3 sin2θcos2θ

= 1 – 3 sin2θ cos2θ = R.H.S

∴ L.H.S = R.H.S ( इतिसिद्धम् )

प्रश्न 17.

\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}
 = 1 + tanθ + cotθ (माध्य शिक्षा बोर्ड, 2018)

हल:

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= 1 + tan θ + cot θ = R.H.S

∴ L.H.S = R.H.S ( इतिसिद्धम् )

प्रश्न 18.

sin θ (1 + tan θ) + cos θ(1 + cot θ) = cosec θ + sec θ

हल:

L.H.S. = sin θ(1 + tan θ) + cos θ(1 + cot θ)

प्रश्न 19.

sin2θ cos θ + tan θ sin θ + cos3θ = sec θ

हल:

L.H.S. = sin2θ cos θ + tan θ sin θ + cos23 θ

= sin2θ cos θ + cos3θ + tan θ. sin θ

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 7 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ Ex 7.1 22

प्रश्न 20.

\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}
 = 1 + sec θ cosec θ

हल:

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 7 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ Ex 7.1 25

प्रश्न 21.

(sin A + cosec A)2 + (cos A + sec A)2 = 7 + tan2A + cot2A

हल:

L.H.S. = (sin A + cosec A)2 + (cos A + sec A)2

= {sin2 A + cosec2 A + 2 sin A × cosec A}

प्रश्न 22.

sin8θ – cos8θ = (sin2θ – cos2θ) (1 – 2sin2θ cos2θ)

हल:

L.H.S. = sin8θ – cos8θ

= (sin4θ)2 – (cos4θ)2

= (sin4θ – cos4θ) (sin4θ + cos4θ)

= [(sin2θ)2 – (cos2θ)]2 (sin4θ + cos4θ)

= (sin2θ – cos2θ) (sin2θ + cos2θ) (sin4θ + cos4θ)

= (sin2θ – cos2θ) (sin4θ + cos4θ] [:: sin2θ+ cos2θ = 1]

= (sin2θ – cos2θ) [(sin2θ)2 + (cos2θ)2 + 2sin2θcos2θ– 2sin2θ cos2θ]

(2 sin2θ cos2θ उपर्युक्त मे जोड़ने व घटाने पर)

= (sin2θ – cos2θ) [(sin2θ + cos2θ)2 – 2 sin2θ cos2θ]

= (sin2θ – cos2θ) (1 – 2 sin2θ cos2θ)

= R.H.S.

∴ L.H.S. = R.H.S. ( इतिसिद्धम् )

प्रश्न 23.

\sqrt{\frac{\sec \theta+1}{\sec \theta-1}}
 = cot θ + cosec θ (माध्य शिक्षा बोर्ड मॉडल पेपर, 2017-18)

हल:

प्रश्न 24.

हल:

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प्रश्न 25.

हल:

प्रश्न 26.

\frac{\cos A}{1-\tan A}+\frac{\sin A}{1-\cot A}
 = sin A + cos A (माध्य शिक्षा बोर्ड, 2018)

हल:

प्रश्न 27.

(cosec A – sin A)(sec A – cos A) = 
\frac{1}{\tan A+\cot A}

हल:

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प्रश्न 28.

\frac{\cos ^{2} \theta}{1-\tan \theta}+\frac{\sin ^{3} \theta}{\sin \theta-\cos \theta}
 = 1 + sin θ cos θ

हल:

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प्रश्न 29.

यदि sec θ + tan θ = P हो, तो सिद्ध करो कि 
\frac{\mathbf{P}^{2}-1}{\mathbf{P}^{2}+1}=\sin \theta

हल:

प्रश्न 30.

यदि 
\frac{\cos A}{\cos B}=m
 तथा 
\frac{\cos A}{\sin B}=n
 हो, तो सिद्ध कीजिए (m2 +n2) cos2B = n2 (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2017-18 )

हल:

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