Chapter 8 ऊँचाई और दूरी

Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 8 ऊँचाई और दूरी

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न

विविध प्रश्नमाला 8

प्रश्न 1.
एक ऊर्ध्वाधर खम्भे की परछाईं, खम्भे की ऊँचाई के बराबर है, तो सूर्य का उन्नयन कोण होगा
(A) 45°
(B) 30°
(C) 60°
(D) 50°

प्रश्न 2.
यदि एक मीनार के पाद बिन्दु से 100 मीटर की दूरी से उसके शिखर का उन्नयन कोण 60° है, तो मीनार की ऊँचाई है-

प्रश्न 3.
15 मीटर लम्बी एक सीढ़ी एक ऊर्ध्वाधर दीवार के शिखर तक पहुँचती है। यदि यह सीढ़ी दीवार के साथ 60° का कोण बनाती है, तो दीवार की ऊँचाई है
(A) $15 \sqrt{3}$ मीटर
(B) $\frac{15 \sqrt{3}}{2}$ मीटर
(C) $\frac{15}{2}$ मीटर
(D) 15 मीटर

प्रश्न 4.
10 मीटर ऊँची मीनार के शिखर से पृथ्वी पर एक बिन्दु का अवनमन कोण 30° है। बिन्दु की मीनार के आधार से दूरी है-
(A) $10 \sqrt{3}$ मीटर
(B) $\frac{10}{\sqrt{3}}$ मीटर
(C) 10 मीटर
(D) $5 \sqrt{3}$ मीटर

प्रश्न 5.
एक नदी के ऊपर एक पुल नदी के तट के साथ 45° का कोण बनाता है। यदि नदी के ऊपर पुल की लम्बाई 150 मीटर हो तो नदी की चौड़ाई होगी-
(A) 75 मीटर
(B) $50 \sqrt{2}$ मीटर
(C) 150 मीटर
(D) $75 \sqrt{2}$ मीटर

प्रश्न 6.
दो खम्भों के शीर्ष, जिनकी ऊँचाई 20 मीटर तथा 14 मीटर है, एक तार से जुड़े हुए हैं । यदि तार क्षैतिज रेखा के साथ 30° का कोण बनाता है, तो तार की लम्बाई है
(A) 12 मीटर
(B) 10 मीटर
(C) 8 मीटर
(D) 6 मीटर

प्रश्न 7.
यदि किसी मीनार के आधार से a तथा b(a > b) दूरी पर उसी सरल रेखा पर स्थित दो बिन्दुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 30° व 60° हों तो मीनार की ऊँचाई है-

प्रश्न 8.
25 मीटर ऊँचे एक स्तम्भ के शीर्ष से एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण तथा मीनार के पाद का अवनमन कोण समान हो तो मीनार की ऊँचाई है-
(A) 25 मीटर
(B) 100 मीटर
(C) 75 मीटर
(D) 50 मीटर

प्रश्न 9.
एक ऊर्ध्वाधर छड़ की लम्बाई तथा इसकी छाया की लम्बाई का अनुपात 1 : $\sqrt{3}$ हो तो सूर्य का उन्नयन कोण है
(A) 30°
(B) 45°
(C) 60°
(D) 90°

प्रश्न 10.
एक पहाड़ी का ढलान क्षैतिज से 60° का कोण बनाता है। यदि शिखर तक पहुँचने में 500 मीटर चलना पड़ता है, तो पहाड़ी की ऊँचाई है-
(A) $500 \sqrt{3}$ मीटर
(B) $\frac{500}{\sqrt{3}}$ मीटर
(C) $250 \sqrt{3}$ मीटर
(D) $\frac{250}{\sqrt{3}}$ मीटर

उत्तर-तालिका 1. (A) 2. (A) 3. (C) 4. (A) 5. (D) 6. (A) 7. (C) 8. (D) 9. (A) 10. (C)

प्रश्न 11.
एक मीनार क्षैतिज समतल पर ऊर्ध्वाधर खड़ी है। यदि सूर्य का उन्नयन कोण 30° हो और मीनार की छाया की लम्बाई 45 मीटर हो तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि मीनार की ऊँचाई PR = h मीटर है।
तथा मीनार की छाया QR की लम्बाई 45 मीटर है तथा सूर्य का उन्नयन कोण ∠RQP = 30° है।

प्रश्न 12.
आँधी के कारण एक वृक्ष का ऊपरी भाग टूटकर क्षैतिज तल पर 60° का कोण बनाता है। वृक्ष का शिखर क्षैतिज तल पर वृक्ष की जड़ से 10 मीटर की दूरी पर मिलता है। टूटने से पहले वृक्ष की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। ( $\sqrt{3}$ = 1.732)
हल:
माना कि वृक्ष के टूटने से पहले वृक्ष की ऊँचाई BD =h मीटर है।
आँधी के पश्चात् AD = AC = टूटे हुए वृक्ष के भाग की लम्बाई
अब समकोण त्रिभुज ABC में

∴ वृक्ष की कुल लम्बाई BD(h) = h₁ + h₂
= $10 \sqrt{3}$ + 20
= 10 x 1.732 + 20
= 17.32 + 20
h = 37.32 मीटर
अतः वृक्ष की कुल लम्बाई 37.32 मीटर है। उत्तर

प्रश्न 13.
किसी अपूर्ण मीनार के आधार से 120 मीटर दूर किसी बिन्दु से। मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। ज्ञात कीजिए कि मीनार को और कितना ऊँचा बनाया जाये जिससे उसी स्थान पर उसका उन्नयन कोण 60° हो जाये?
हल:
माना कि मीनार को h₂ मीटर ऊँचा बनाया जाये, जिससे उसी स्थान पर उसका उन्नयन कोण 60° हो जाये । साथ ही यह भी माना कि अपूर्ण मीनार की ऊँचाई h₁ मीटर है। इस प्रकार पूरी मीनार की ऊँचाई h = h₁ + h₂ है।
अब समकोण ∆ABD से

प्रश्न 14.
एक मीनार के आधार से 100 मीटर दूरी पर स्थित बिन्दु से शिखर का उन्नयन कोण 30° है तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि मीनार की ऊँचाई h मीटर है।
तथा मीनार के आधार B से 100 मीटर की दूरी पर स्थित C से मीनार के शिखर को उन्नयन कोण 30° है।
तब ∠BCA = 30°
∴ समकोण ∆ABC से

प्रश्न 15.
किसी स्तम्भ की चोटी का उन्नयन कोण समतल पर स्थित एक बिन्दु से 15° है। स्तम्भ की ओर 100 मीटर चलने पर उन्नयन कोण 30° हो जाता है, तो स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (जहाँ tan 15 = 2 – $\sqrt{3}$ है।)
हल:
माना कि स्तम्भ की चोटी C का उन्नतांश कोण समतल पर बिन्दु 0 से 15° और बिन्दु A से 30° है, जहाँ OA = 100 मी. है।।

प्रश्न 16.
एक समतल जमीन पर खड़ी मीनार की छाया उस स्थिति में 40 मीटर अधिक लम्बी हो जाती है जबकि सूर्य का उन्नतांश कोण 60° से घटकर 30° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि AB की लम्बाई h मीटर है और BC, x मीटर है। प्रश्न के अनुसार DB, BC से 40 m अधिक लम्बा है।
अतः DB = (40 + x) m
यहाँ दो समकोण त्रिभुज ABC और ABD हैं।

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प्रश्न 17.
समुद्र तल से 60 मीटर ऊँचे लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30° व 45° हैं। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो, तो जहाजों के मध्य दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि O और R जहाज A की दो स्थितियाँ हैं और प्रेक्षण की अवधि में जहाज द्वारा तय की गई दूरी x₁ मीटर है।
माना प्रेक्षक बिन्दु P पर है और R से Q की दूरी x₂ मीटर है। बिन्दु P से O और R के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° हैं।

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प्रश्न 18.
1.5 मीटर लम्बा एक लड़का 30 मीटर ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा हो जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है?
हल:
माना कि ED = 30 m भवन की ऊँचाई है और EC = 1.5 m लड़के की ऊँचाई है। विभिन्न स्थितियों में उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 60° है। और यहाँ पर DC = DE – EC = 30 – 1.5 = 28.5 m.
समकोण ∆ACD में,

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प्रश्न 19.
7 मीटर ऊँचे भवन के शिखर से एक टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद (Foot) का अवनमन कोण 45° है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि BD =h m केबल टॉवर की ऊँचाई है और AE = 7 m भवन की ऊँचाई है। केबल टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण और पाद का अवनमन कोण क्रमश: 60° और 45° है।

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प्रश्न 20.
एक पर्वत के शिखर से पूर्व की ओर स्थित दो बिन्दुओं से शिखर के अवनमन कोण 30° वे 45° हैं। यदि बिन्दुओं के बीच की दूरी 1 किमी. हो तो पर्वत की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि षर्वत के शिखर से पूर्व की ओर स्थित दो बिन्दुओं P और Q का अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° है। दोनों बिन्दुओं P और Q के बीच की दूरी 1 किमी. है।
अब समकोण ∆SRP में

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प्रश्न 21.
एक झील में पानी के तल से 20 मीटर ऊँचे बिन्दु A से एक बादल का उन्नयन कोण 30° है। यदि झील में बादल के प्रतिबिम्ब का बिन्दु A से अवनमन कोण 60° हो तो बिन्दु A से बादल की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
चित्रानुसार माना B बादल की स्थिति तथा E झील में बादल की परछाईं है। AF = 20 मीटर झील से ऊँचाई है तथा माना बादल की झील से ऊँचाई h मीटर है।
अब समकोण त्रिभुज ABC में

प्रश्न 22.
एक नदी के पुल के एक बिन्दु से नदी के सम्मुख किनारों के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° हैं। यदि पुल किनारों से 4 मीटर की ऊँचाई पर हो, तो नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना आकृति में A और B नदी के सम्मुख किनारों के बिन्दुओं को प्रकट करते हैं। जिससे कि AB नदी की चौड़ाई है। 4 m की ऊँचाई पर बने पुल पर एक बिन्दु P है अर्थात् DP = 4 m है। हम नदी की चौड़ाई ज्ञात करना चाहते हैं जो कि ∆APB की भुजा AB की लम्बाई है।
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प्रश्न 23.
एक व्यक्ति एक जहाज के डैक जो पानी की सतह से 10 मीटर ऊँचा है, पर खड़ा है। यदि वह पहाड़ी के शिखर का उन्नयन कोण 60° तथा पहाड़ी के आधार का अवनमन कोण 30° देखता हो, तो जहाज से पहाड़ी की दूरी तथा पहाड़ी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि एक पानी के जहाज के डैक, जो जल स्तर से 10 मीटर ऊँचा है, के ऊपर बिन्दु B से एक व्यक्ति एक पहाड़ी EC के शिखर बिन्दु C और पाद बिन्दु E के उन्नयन तथा अवनमन कोण क्रमशः 60° और 30° पाता है।

अतः हमें यहाँ पहाड़ी की ऊँचाई CE तथा जहाज से पहाड़ी की दूरी AE ज्ञात करनी है।
समकोण ∆CBD में

प्रश्न 24.
एक 12 मीटर ऊँचा पेड़ तेज हवा से इस प्रकार टूट जाता है कि उसका शीर्ष जमीन को छूने लगता है और जमीन के साथ 60° का कोण बनाता है। ज्ञात करें कि तेज हवा से पेड़ जमीन से कितनी ऊँचाई से टूटा है। ( $\sqrt{3}$ = 1.732)
हल:
माना कि 12 मीटर ऊँचा पेड़ BD, C बिन्दु से टूटा है।
अतः लटके हुए भाग AC की लम्बाई = (12 – h) मीटर
अब समकोण ∆ABC से
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प्रश्न 25.
एक राजमार्ग एक मीनार के नीचे से होकर गुजरता है। एक आदमी मीनार के शिखर से एक कार को अवनमन कोण 30° पर देखता है। वह कार एक समान गति से मीनार के नजदीक आ रही है। 6 सेकण्ड के पश्चात् कार का अवनमन कोण 60° हो जाता है। कार कितने समय में मीनार के नीचे से गुजर जायेगी ?
हल:
माना कि CD =h m मीनार क्षतिज स्तर की ऊँचाई है तथा ‘A’ कार की प्रारम्भिक स्थिति है और छ: सेकण्ड के बाद कार B पर पहुँच जाती है। A और B पर कार के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 60° हैं।
पुनः माना कि कार की चाल v मीटर प्रति सेकण्ड है।
∵ दूरी = चील × समय
AB = कार द्वारा 6 सेकण्ड में तय की गई दूरी
AB = 6v मीटर
तथा कार द्वारा मीनार तक पहुँचने में लिया गया समय ‘n’ सेकण्ड है।
∴ BC = nv मीटर

प्रश्न 26.
मीनार के आधार से और एक सरल रेखा में 4 मीटर तथा 9 मीटर की दूरी पर स्थित दो बिन्दुओं से मीनार के शिखरे के उन्नयन कोण पूरक कोण हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 मीटर है।
हल:
माना कि CD =h m मीनार की ऊँचाई है और B, A अभीष्ट बिन्दु हैं जो मीनार से क्रमशः 4 m और 9 m की दूरी पर हैं।
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प्रश्न 27.
सड़क के एक ओर एक मीनार तथा दूसरी ओर एक मकान स्थित है। मीनार के शिखर से मकान की छत और आधार के अवनमन कोण क्रमशः 45° व 60° हों और यदि मकान की ऊँचाई 12 मीटर हो, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। ( $\sqrt{3}$ = 1.732)
हल:
चित्रानुसार आकृति में माना PC मीनार की ऊँचाई को तथा AB, 12 मीटर ऊँचे मकान को प्रकट करते हैं। हमें मीनार की ऊँचाई ज्ञात करनी है।

PB समान्तर रेखाओं PQ तथा BD की एक तिर्यक छेदी रेखा है। अतः ∠QPB और ∠PBD एकान्तर कोण हैं 12 मी. और इसलिए बराबर हैं। अतः ∠PBD = 45°, इसी प्रकार ∠PAC = 60°
अब ∆ACP से

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प्रश्न 28.
यदि सूर्य का उन्नयन कोण 30° से 60° में परिवर्तित हो जाता है, तो इन दोनों उन्नयन कोणों पर 15 मीटर ऊँचे खम्भे की छाया की लम्बाई में अन्तर ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि 15 मीटर लम्बे खम्भे की छाया की। लम्बाई उन्नयन कोण 30° होने पर x मीटर तथा उन्नयन। कोण 60° होने पर y मीटर है।
अत: ∆ABC से

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