Chapter 8 ऊँचाई और दूरी Additional Questions

Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 8 ऊँचाई और दूरी Additional Questions

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
10 मीटर ऊँचे एक वृक्ष की छाया 103 मीटर लम्बी हो, तो सूर्य का उन्नतांश कोण है-
(A) 90°
(B) 60°
(C) 45°
(D) 30°

प्रश्न 2.
किसी मीनार की छाया उसकी ऊँचाई के बराबर हो तो सूर्य का उन्नयन कोण
(A) 90°
(B) 60°
(C) 45°
(D) 30°

प्रश्न 3.
यदि किसी वृक्ष की छाया उसकी ऊँचाई की

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ गुना हो, तो सूर्य का उन्नयन कोण है
(A) 90°
(B) 60°
(C) 45°
(D) 30°

प्रश्न 4.
एक पहाड़ी का ढलान क्षैतिज से 30° कोण बनाता है। यदि शिखर तक पहुँचने में 500 मीटर चलना पड़ता है, तो पहाड़ी की ऊँचाई है-
(A) $500 \sqrt{3}$ मीटर
(B) $\frac{500}{\sqrt{3}}$
(C) 500 मीटर
(D) $\frac{250}{\sqrt{3}}$ मीटर

प्रश्न 5.
यदि एक मीनार की ऊँचाई उसकी छाया से 3 गुनी है तो सूर्य का उन्नतांश कोण है
(A) 30°
(B) 45°
(C) 75°
(D) 60°

प्रश्न 6.
50 मीटर ऊँचे एक प्रकाश स्तम्भ के शिखर से किसी नाव का अवनमन कोण 60° है। नाव की प्रकाश स्तम्भ से दूरी होगी-
(A) $50 \sqrt{3}$ मीटर
(B) $\frac{50}{\sqrt{3}}$ मीटर
(C) 50 × 3 मीटर
(D) 50 मीटर

प्रश्न 7.
एक मीनार के आधार से 60 मी. की दूरी पर एक बिन्दु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 45° है तो मीनार की ऊँचाई है
(A) 30 मी.
(B) $30 \sqrt{3}$ मी.
(C) 60 मी.
(D) $60 \sqrt{3}$ मी.

प्रश्न 8.
यदि सूर्य का उन्नतांश कोण 45° हो तो 12 मीटर ऊँचे एक वृक्ष की पड़ने वाली छाया की लम्बाई होगी-
(A) 6 मीटर
(B) 9 मीटर
(C) 12 मीटर
(D) $12 \sqrt{2}$ मीटर

प्रश्न 9.
आँधी से टूटे एक वृक्ष का ऊपरी सिरा भूमि से 30° का कोण बनाता है। यदि उसका शीर्ष भूमि पर जड़ से 25 मीटर की दूरी पर गिरा हो तो वृक्ष के शेष भाग की ऊँचाई होगी-
(A) $25 \sqrt{3}$ मीटर
(B) $\frac{25}{\sqrt{3}}$ मीटर
(C) 25 मीटर
(D) $\frac{\sqrt{3}}{25}$ मीटर

प्रश्न 10.
10 मीटर ऊँची मीनार की परछाईं क्या होगी जबकि सूर्य का उन्नतांश कोण 30° हो?
(A) 1730 मीटर
(B) 17.32 मीटर
(C) 173.2 मीटर
(D) 7320 मीटर

उत्तर-तालिका 1. (D) 2. (C) 3. (B) 4. (C) 5. (D) 6. (B) 7. (C) 8. (C) 9. (B) 10. (B)

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
3 मीटर ऊँचे खम्भे की परछाईं की लम्बाई 3 मीटर है। उस समय सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिये ।
हल:
tan θ = $\frac{3}{3}$ = 1
∴ θ = 45° उत्तर

प्रश्न 2.
दी गई आकृति में कोण 8 का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 3.
चित्र के अनुसार ‘x’ का मान लिखिए
AB = x,
BC = $6 \sqrt{3}$ मीटर
ताथा ∠C = 30°
हल:

प्रश्न 4.
सूर्य के उन्नयन कोण में वृद्धि (0° से 90° तक) होने से किसी स्तम्भ की परछाईं की लम्बाई में क्या परिवर्तन होता है? लिखिए।
उत्तर:
परछाईं की लम्बाई कम होती जाएगी।

प्रश्न 5.
एक चिमनी के आधार से 200 मीटर दूरी पर से उसके शिखर का उन्नयन कोण 60° है। चिमनी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 6.
20 मीटर ऊँचे नदी के पुल से एक नाव का अवनमन कोण 30° है। नाव को पुल के नीचे जाने में कितनी दूरी चलना होगा?
हल:

प्रश्न 7.
टेलीफोन के खम्भे की भूमि से ऊँचाई 17 मीटर है। उसके ऊपरी सिरे से बंधा हुआ तार भूमि से 45° का कोण बनाता है। तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न: 8.
यदि एक मीनार की परछाईं की लम्बाई मीनार की ऊँचाई के बराबर हो तो सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2017-18 )
हल:
माना मीनार की ऊँचाई =h इकाई है।
तब प्रश्नानुसार मीनार की परछाईं की लम्बाई = h इकाई है।
माना सूर्य का उन्नयन कोण = θ है।

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प्रश्न 9.
यदि एक ऊर्ध्वाधर छड़ की लम्बाई तथा इसकी छाया की लम्बाई का अनुपात $1 : \sqrt{3}$ हो, तो सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिये।। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2018)
हल:
माना छड़ की लम्बाई = x इकाई है।
तब इसकी छाया = $\sqrt{3} x$ इकाई होगी।

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लघूत्तरात्मक प्रश्न-

प्रश्न 1.
एक वृक्ष पृथ्वी से 4 मीटर की ऊँचाई से टूटकर इस प्रकार गिरता है कि इसका ऊपरी सिरा पृथ्वी से 30° का कोण बनाता है। वृक्ष की कुल ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ BC पेड़ का टूटा हुआ भाग है।

प्रश्न 2.
एक मकान की छत से मैदान में पड़े एक पत्थर का अवनमन कोण 60° है। यदि पत्थर से छत की तिरछी दूरी $4 \sqrt{3}$ मीटर हो तो मकान की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ AC = $4 \sqrt{3}$ मीटर
माना AB = x मीटर

प्रश्न 3.
एक स्तम्भ के ऊपरी सिरे का उन्नयन कोण आधार तल के एक बिन्दु परे 60° है। यदि यह बिन्दु स्तम्भ के आधार बिन्दु से $10 \sqrt{3}$ मीटर की दूरी पर हो तो स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना AB एक स्तम्भ है, जिसके आधार से $10 \sqrt{3}$ मीटर की दूरी पर स्थित बिन्दु C से स्तम्भ के शिखर का उन्नयन कोण 60° माना स्तम्भ AB की । ऊँचाई h मीटर है।
समकोण ∆ABC में,

प्रश्न 4.
50 मीटर ऊँचे पुल से किसी नाव का अवनमन कोण 30° है। नाव की पुल से क्षैतिज दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना नाव की पुल से क्षैतिज दूरी x मीटर है।
दिया हुआ है-अवनमन कोण 30° है।

प्रश्न 5.
किसी मीनार के आधार से a और B दूरी पर एक ही रेखा पर स्थित दो बिन्दु क्रमशः C व D से देखने पर मीनार के शिखर के उन्नयन कोण एक-दूसरे के पूरक हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई $\sqrt{a b}$ है।
हल:
माना मीनार की ऊँचाई AB =h मीटर तथा C व D बिन्दु इस प्रकार हैं कि BC = a, BD = b

प्रश्न 6.
एक स्तम्भ के आधार से 40 मीटर दूर स्थित बिन्दु पर स्तम्भ के ऊपरी सिरे का उन्नयन कोण 60° है। स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि स्तम्भ की ऊँचाई h मीटर है।
समकोण त्रिभुज ABC से

प्रश्न 7.
एक सीढ़ी ऊर्ध्वाधर दीवार के सहारे इस प्रकार टिकी है कि इसका नीचे का सिरा क्षैतिज भूमि पर दीवार से 3 मीटर दूर है। यदि सीढ़ी भूमि से 60° का कोण बनाए तो सीढ़ी दीवार पर कितनी ऊँचाई तक पहुँचती है? सीढ़ी की लम्बाई भी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि सीढ़ी AC दीवार AB पर h ऊँचाई तक पहुँचती है।
अब समकोण त्रिभुज ABC से

∴ x = 6 मीटर
अतः सीढ़ी की लम्बाई = 6 मीटर होगी। उत्तर

प्रश्न 8.
1.5 m लम्बा एक प्रेक्षक एक चिमनी से 28.5 m की दूरी पर है। उसकी आँखों से चिमनी के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। चिमनी की ऊँचाई बताइए।
हल:
यहाँ AB चिमनी है, CD प्रेक्षक है और ∠ADE उन्नयन कोण है। (देखिए आकृति)। यहाँ ADE एक त्रिभुज DAहै जिसमें कोण E समकोण है और हमें चिमनी की ऊँचाई ज्ञात करनी है।

यहाँ AB = AE + BE= (AE + 1.5) m [∵ BE = CD = 1.5 m]
और DE= CB = 28.5 m .
AE ज्ञात करने के लिए हमें एक ऐसा त्रिकोणमिति अनुपात लेना चाहिए जिसमें AE और DE दोनों हों अतः
tan 45० = $\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{DE}}$
अर्थात् 1 = $\frac{\mathrm{AE}}{28.5}$
इसलिए AE= 28.5
अतः चिमनी की ऊँचाई (AB) = (28.5 + 1.5) m = 30 m उत्तर

प्रश्न 9.
धरती पर एक मीनार ऊध्र्वाधर खड़ी है। धरती के एक बिन्दु से, जो मीनार के पाद-बिन्दु से 15 m दूर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
चित्र में AB मीनार को निरूपित करता है, CB मीनार से बिन्दु की दूरी है और ∠ACB उन्नयन कोण है। हम मीनार की ऊँचाई अर्थात् AB ज्ञात करना चाहते हैं और, यहाँ ACB एक त्रिभुज है जो B पर समकोण है।
अब हम त्रिकोणमितीय अनुपात tan 60° (या cot 60°) लेते हैं, क्योंकि इस अनुपात में AB और BC दोनों होते हैं।

∴ $\tan 60^{\circ}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$
अर्थात् $\sqrt{3}=\frac{\mathrm{AB}}{15}$
अर्थात् $A B=15 \sqrt{3}$
अतः मीनार की ऊँचाई = $15 \sqrt{3}$ m उत्तर

प्रश्न 10.
एक नदी के पुल के एक बिन्दु से नदीं के सम्मुख किनारों के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° हैं। यदि पुल किनारों से 3m की ऊँचाई। पर हो तो नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
आकृति में, A और B नदी के सम्मुख किनारों के बिन्दुओं को प्रकट करते हैं, जिससे कि AB नदी की चौड़ाई है। 3 m की ऊँचाई पर बने पुल पर एक बिन्दु P है अर्थात् DP = 3 m है। हम नदी की चौड़ाई ज्ञात करना चाहते हैं जो कि ∆APB की भुजा AB की लम्बाई है।

प्रश्न 11.
10 मी. ऊँचे भवन के शिखर से एक टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और उसके पाद का अवनमन कोण 45° है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि टॉवर की ऊँचाई h मी. है। टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° तथा पाद का अवनमन कोण 45° है। चित्र में भवन AB की ऊँचाई 10 मीटर है। अब ∆ABD में
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प्रश्न 12.
एक मीनार के आधार से 9 मीटर तता 25 मीटर दूरी पर एक ही रेखा पर स्थित दो बिन्दुओं से देखने पर मीनार के शिखर के उन्नयन कोण परस्पर पूरक हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2018)
हल:
माना मीनार की ऊँचाई AB = h मीटर
तथा C व D बिन्दु इस प्रकार हैं कि
BC = 9 मीटर, BD = 25 मीटर
यदि ∠ADB = θ
तो ∠ACB = 90° – θ
समकोण ∆ABD में

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निबन्धात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
एक बिजली मिस्त्री को एक 5 m ऊँचे खम्भे पर आ गई खराबी की मरम्मत करनी है। मरम्मत का काम करने के लिये उसे खम्भे के शिखर से 1.3 m नीचे एक बिन्दु तक पहुँचना है। यहाँ पर पहुँचने के लिये प्रयुक्त सीढ़ी की लम्बाई कितनी होनी चाहिये जिससे कि क्षैतिज से 60° के कोण से झुकने पर वह अपेक्षित स्थिति तक पहुँच जाये ? और यह भी बताइये कि खम्भे का पाद-बिन्दु कितनी दूरी पर सीढ़ी के पाद-बिन्दु से होना चाहिये ?
हल:
बिजली मिस्त्री को खम्भे AD पर बिन्दु B तक पहुँचना है।
अतः BD = AD – AB
= 5 – 1.3 = 3.7 m

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प्रश्न 2.
100 मीटर ऊँचे एक प्रकाश स्तम्भ की चोटी से एक प्रेक्षक समुद्र में एक जहाज को ठीक अपनी ओर आते हुए देखता है। यदि जहाज का अवनमन कोण 30° से बदलकरे 45° हो जाता है तो प्रेक्षक की इस अवधि में जहाज द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना AB एक प्रकाश स्तम्भ है जिसकी ऊँचाई 100 मीटर है। माना जहाज D से C बिन्दु पर आ जाता है।

प्रश्न 3.
क्षैतिज तल पर स्थित मीनार ऊर्ध्वाधर खड़ी है और उसके शिखर पर 7 मीटर लम्बाई का एक ध्वज दण्ड लगा है। तल पर स्थित किसी बिन्दु से ध्वज दण्ड के आधार और ऊपरी सिरे के उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 45° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना मीनार की ऊँचाई BD =h मीटर है।
तथा ध्वज दण्ड की लम्बाई AD = 7 मीटर है।
समकोण ∆ABC से

प्रश्न 4.
4000 मीटर की ऊँचाई पर उड़ते हुए वायुयान के ठीक नीचे जिस क्षण दूसरा वायुयान आता है, उसी क्षण क्षैतिज तल पर किसी बिन्दु से इन वायुयानों के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 45° हैं। उस क्षण पर दोनों वायुयानों के बीच की ऊध्र्वाधर की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि पहले हवाई जहाज (वायुयान) की ऊँचाई AC तथा दूसरे वायुयान की ऊँचाई BC = h मीटर है।
माना CD = x मीटर
समकोण त्रिभुज ACD से

प्रश्न 5.
एक मीनार क्षैतिज तल पर खड़ी है। सूर्य के उन्नतांश कोण 30° पर मीनार की छाया, सूर्य के उन्नतांश 60° पर मीनार की छाया से 45 मीटर अधिक है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना मीनार की ऊँचाई AB =h मीटर है। अब BD मीनार की छाया है जबकि सूर्य का उन्नतांश कोण 30° है तथा BC भी मीनार की छाया है जबकि सूर्य का उन्नतांश कोण 60° है।
यहाँ DC = 45 मीटर तथा माना BC = x मीटर है।
∴ BD = 45 + x मीटर
अब समकोण ∆ABD से

प्रश्न 6.
एक समतल जमीन पर 1.5 मीटर लम्बे छात्र की छाया की लम्बाई 1 मीटर है तथा उसी समय एक मीनार की छाया की लम्बाई 5 मीटर है। तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया हुआ है-
छात्र की लम्बाई AC= 1.5 मीटर
छात्र की छाया BC= 1 मीटर
समकोण ∆ACB में,
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प्रश्न 7.
100 मीटर चौड़ी एक नदी के मध्य में एक छोटा टापू है। इस टापू पर एक ऊँचा वृक्ष है। नदी के विपरीत किनारों पर दो बिन्दु P व Q इस प्रकार स्थित हैं कि P, Q और वृक्ष एक रेखा में हैं। यदि P और Q से वृक्ष की चोटी का उन्नयने कोण 30° और 45° हो, तो वृक्ष की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना OA वृक्ष है जिसकी ऊँचाई h मीटर है।
आकृति में, PQ= 100 मीटर

प्रश्न 8.
एक कार एक सीधी सड़क पर चल रही है जो एक मीनार की : ओर जाती है। मीनार से 500 मीटर की दूरी पर कार के ड्राइवर ने मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° पाया। 10 सेकण्ड तक कार को मीनार की ओर चलाने के बाद ड्राइवर ने मीनार के शिखर को उन्नयन कोण 60° पाया। कार की चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
माना मीनार की ऊँचाई AB = h मीटर और 10 सेकण्ड में कार द्वारा तय दूरी (DC) = x मीटर है।

प्रश्न 9.
एक 80 मीटर चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने-सामने समान लम्बाई के दो खम्भे लगे हुए हैं। इन दोनों खम्भों के मध्य सड़क के एक बिन्दु से खम्भों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 60° व 30° हैं। खम्भों की ऊँचाई तथा खम्भों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना BC व DE दो समान ऊँचाई के खम्भे हैं, जिनकी ऊँचाई h मीटर है। इन खम्भों के मध्य सड़क BD पर एक बिन्दु से खम्भों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 60° व 30° हैं।
अतः ∠CAB = 60° और ∠EAD = 30°,
BC = DE = h मी., BD = 80 मीटर
माना AD= x मीटर
∴ AB = BD – AD = (80 – x) मीटर
समकोण ∆ADE में
$\tan 30^{\circ}=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AD}}$

प्रश्न 10.
एक झील के पानी की सतह से h मीटर ऊँचाई पर स्थित एक बिन्दु से एक बादल का उन्नयन कोण β है तथा झील के पानी में उसकी छाया का अवनमन कोण 8 है। सिद्ध कीजिए कि पानी के तल से बादल की ऊँचाई $\frac{h(\tan \beta+\tan \alpha)}{\tan \beta-\tan \alpha}$ मीटर है।
हल:
माना झील की सतह AB है तथा प्रेक्षण बिन्दु P है।
दिया है- AP= h मीटर
माना बादल की स्थिति C है तथा C’ झील में बादल की छाया है।
∴ CB = C’B
माना PM बिन्दु P से CB पर लम्ब है।
दिया हुआ है कि
∠CPM = α
तथा ∠MPC’ = B
माना कि CM = x मीटर
स्पष्ट है कि CB = CM + MB = CM + PA = x + h

प्रश्न 11.
100 मीटर ऊँची एक मीनार की चोटी और उसके आधार से, एक चट्टान की चोटी के उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 45° हैं। चट्टान की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना चट्टान की ऊँचाई AB है तथा वह (h + 100) मीटर है और मीनार की ऊँचाई CD है तथा वह 100 मीटर है।
∴ ∠ADE = 30°

प्रश्न 12.
पहाड़ी पर खड़ा एक व्यक्ति एक नाव को देखता है, जिसका उस समय अवनमन कोण 30° है और यह नाव समुद्र के किनारे उस व्यक्ति के ठीक नीचे के स्थान की ओर आ रही है। नाव समान चाल से आ रही है। 6 मिनट पश्चात् उसका अवनमन कोण 60° हो जाता है। पहाड़ी की ऊँचाई और नाव को किनारे तक पहुँचने में लगने वाला समय ज्ञात कीजिए।
हल:
माना पहाड़ी की ऊँचाई h मीटर अर्थात् चित्रानुसार AB है तथा प्रेक्षक व्यक्ति A बिन्दु पर खड़ा है। एक नाव D बिन्दु की ओर से 6 मिनट में बिन्दु C पर पहुँचती है। माना।
DC = x₁, CB = x₂

प्रश्न 13.
भूमि के एक बिन्दु P से एक 10 m ऊँचे भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। भवन के शिखर पर एक ध्वज को लहराया गया है और P से ध्वज के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। ध्वजदंड की लम्बाई और बिन्दु P से भवन की दूरी ज्ञात कीजिए। ( यहाँ आप $\sqrt{3}$ = 1.732 ले सकते हैं।)
हल:
आकृति में, AB भवन की ऊँचाई है , BD ध्वजदंड प्रकट करता है और P दिया हुआ बिन्दु प्रकट करता है। यहाँ पर दो समकोण त्रिभुज PAB और PAD हैं। हमें ध्वजदण्ड की लम्बाई अर्थात् DB और बिन्दु P से भवन की दूरी अर्थात् PA ज्ञात करना है।
समकोण ∆PAB में

प्रश्न 14.
एक बहुमंजिला भवन के शिखर से देखने पर एक 8 m ऊँचे भवन के शिखर और तल के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° हैं। बहुमंजिला भवन की ऊँचाई और दो भवनों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
आकृति में PC बहुमंजिला भवन को और AB, 8 m ऊँचे भवन को प्रकट करता है। हम बहुमंजिला भवन की ऊँचाई, अर्थात् PC और दो भवनों के बीच की दूरी अर्थात् AC ज्ञात करना चाहते हैं।

PB समान्तर रेखाओं PQ और BD की एक तिर्यक-छेदी रेखा है। अतः ∠QPB और ∠PBD एकान्तर कोण हैं। और इसलिए बराबर हैं। अतः ∠PBD = 30°, इसी प्रकार ∠PAC = 45°
समकोण ∆PBD में,

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प्रश्न 15.
एक नहर के एक तट पर एक टीवी टॉवर ऊर्ध्वाधरतः खड़ा है। टॉवर के ठीक सामने दूसरे तट के एक अन्य बिन्दु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। इसी तट पर इस बिन्दु से 20 m दूर, और इस बिन्द को मीनार के पाद से मिलाने वाली रेखा पर स्थित एक अन्य बिन्दु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। ( देखिए आकृति )। टॉवर की ऊँचाई और नहर की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

हल:
माना कि BC = x m नहर की चौड़ाई है और CD =h m टीवी टॉवर की ऊँचाई है। भिन्न-भिन्न स्थितियों में टॉवर के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 60° हैं।
समकोण ABCD में,

प्रश्न 16.
किसी मीनार के आधार से x और y दूरी पर एक ही रेखा पर स्थित दो बिन्दुओं क्रमशः C व D से देखने पर मीनार के शिखर के उन्नयन कोण एक-दूसरे के पूरक हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई $\sqrt{x y}$ है। ( माध्य, शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2017-18 )
हल:
माना AB एक मीनार है, जिसकी ऊँचाई h इकाई है।
मीनार के आधार से x तथा y दूरी पर बिन्दु क्रमश: C तथा D हैं, जिन पर मीनार के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः θ° और (90° – θ) हैं।

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