Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.1
प्रश्न 1.
∆ABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है। निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:
(i) sin A, cos A
(ii) sin C, cos C
हल-
(i) ज्ञात करना है- sin A, cos A
यहाँ AB = 24 cm, BC = 7 cm
पाइथागोरस प्रमेय से
AC2 = AB2 + BC2
⇒ AC2 = (24)2 + (7)2
⇒ AC2 = 576 + 49
⇒ AC2 = 625
प्रश्न 2.
आकृति में, tan P – cot R का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
कर्ण PR = 13 cm
पाइथागोरस प्रमेय से
PR2 = PO2 + OR2
या (13)2 = (12)2 + QR2
या 169 = 144 + (QR)2
या 169 – 144 = (QR)2
या 25 = (QR)2
या QR = ±√25
या QR = 5, -5
परन्तु QR = 5 cm [∵ QR ≠ -5 क्योंकि भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती]
प्रश्न 3.
पाइथागोरस प्रमेय से
AC2 = AB2 + BC2
या (4K)2 = (AB)2 + (3K)2
या 16K2 = AB2 + 9K2
या 16K2 – 9K2 = AB2
या 7K2 = AB2
या AB = ±√7K2
या AB = ±√7K [∵ AB ≠ -7K क्योंकि भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती]
या AB = √7K
प्रश्न 4.
यदि 15 cot A = 8 हो तो sin A और sec A का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि ABC कोई समकोण त्रिभुज है जिसमें A न्यून कोण है और B पर समकोण है।
15 cot A = 8
∴ AB = 8K, BC = 15K
पाइथागोरस प्रमेय से
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2
या (AC)2 = (8K)2 + (15K)2
या (AC)2 = 64K2 + 225K2
या (AC)2 = 289K2
या AC = ±√1289K2
या AC = ±17K
या AC = 17K [AC = -17K, क्योंकि भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती]
प्रश्न 5.
यदि sec θ = 13/12, हो तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात परिकलित कीजिए।
हल-
माना कि ABC कोई समकोण त्रिभुज है जिसमें B पर समकोण है।
पुनः माना कि ∠BAC = θ
प्रश्नानुसार
माना AC = 13k और AB = 12k
पाइथागोरस प्रमेय से
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2
या (13k)2 = (12k)2 + (BC)2
या 169k2 = 144k2 + (BC)2
या 169k2 – 144k2 = (BC)2
या (BC)2 = 25k2
या BC = ±√25k2
या BC = ±5k
या BC = 5k [BC ≠ -5k क्योंकि भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती]
प्रश्न 6.
यदि ∠A और ∠B न्यून कोण हों, जहाँ cos A = cos B, हो, तो दिखाइए कि ∠A = ∠B.
हल-
माना कि ABC कोई त्रिभुज है जहाँ ∠A और ∠B न्यून कोण हैं। cos A और cos B ज्ञात करने हैं।
अब CM ⊥ AB खींचिए।
प्रश्न 7.
(ii) cot2θ का मान निकालिए।
हल-
(i) ∠ABC = θ
समकोण त्रिभुज ACB में C पर समकोण है।
प्रश्नानुसार
माना BC = 7k, AC = 8k
पाइथागोरस प्रमेय से
(AB)2 = (BC)2 + (AC)2
या (AB)2 = (7k)2 + (8k)2
या (AB)2 = 49k2 + 64k2
या (AB)2 = 113k2
या AB = ±√113k2
या AB = √113k [∵ AB = -√113k क्योंकि भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती]
प्रश्न 8.
माना AB = 4k, BC = 3k
पाइथागोरस प्रमेय से
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2
या (AC)2 = (4k)2 + (3k)2
या (AC)2 = 16k2 + 9k2
या (AC)2 = 25k2
या AC = ±√25k
या AC = ±5k
परन्तु AC = 5k [AC ≠ -5k, क्योंकि भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती]
(i) और (ii) से,
L.H.S. = R.H.S.
प्रश्न 9.
(i) sin A cos C + cos A sin C
(ii) cos A cos C – sin A sin C
हल-
(i) प्रश्नानुसार ∆ABC जिसका कोण B समकोण है।
माना BC = k, AB = √3k
पाइथागोरस प्रमेय से,
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2
या (AC)2 = (√3k)2 + (k)2
या AC2 = 3k2 + k2
या AC2 = 4k2
या AC = ±√4k2
या AC = ±2k
जहाँ AC = 2k [AC ≠ -2k क्योंकि भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती]
प्रश्न 10.
∆PQR में, जिसका कोण Q समकोण है, PR + QR = 25 cm और PQ = 5 cm है। sin P, cos P और tan P के मान ज्ञात कीजिए।
हल-
प्रश्नानुसार ∆PQR, में Q पर समकोण है।
PR + QR = 25 cm
PQ = 5 cm
समकोण त्रिभुज PQR में,
पाइथागोरस प्रमेय से
(PR)2 = (PQ)2 + (RQ)2
या (PR)2 = (5)2 + (RQ)2
[∵ PR + QR = 25 ⇒ QR = 25 – PR]
या (PR)2 = 25 + (25 – PR)2
या (PR)2 = 25 + (25)2 + (PR)2 – 2 × 25 × PR
या (PR)2 = 25 + 625 + (PR)2 – 50PR
या (PR)2 – (PR)2 + 50PR = 650
या 50PR = 650
या PR = 13
QR = 25 – PR
या QR = 25 – 13
या QR = 12 cm
प्रश्न 11.
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए :
(i) tan A का मान सदैव 1 से कम होता है।
(ii) कोण A के किसी मान के लिए sec A = 12/5
(iii) cos A, कोण A के cosecant के लिए प्रयुक्त एक संक्षिप्त रूप है।
(iv) cot A cot और A का गुणनफल होता है।
(v) किसी भी कोण θ के लिए sin θ = 4/3
हल-
(i) असत्य है।
चूंकि समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाई के मान कुछ भी हो सकते हैं। इसलिये tan A का मान कुछ भी हो सकता है।
(ii) sec A = कर्ण/आधार =12/5 = 2.40 > 1
∵ कर्ण और आधार का अनुपात 12 : 5 होता है।
ऐसा सदैव होना आवश्यक नहीं है, पर किसी मान के लिए सत्य है।
अतः कथन सत्य है।
(iii) ∵ cos A कोण A की cosine A का संक्षिप्त रूप होता है।
जबकि cosecant A का अर्थ है cosec A अतः दिया हुआ कथन असत्य है।
(iv) असत्य।
क्योंकि cot A, कोण A का cotangent से है न कि cot और A का गुणनफल।
(v) असत्य sin θ = 4/3 = 1.666 > 1
क्योंकि sin θ सदैव 1 और 1 से कम होता है।