Chapter 8 Binomial Theorem (द्विपद प्रमेय).

प्रश्नावली 8.1

प्रश्न 1 से 5 तक प्रत्येक व्यंजक को प्रसार ज्ञात कीजिए:
प्रश्न 1.
(1 – 2x)5
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.1 1

UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.1 2

प्रश्न 3.
(2x – 3)6

UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.1 3

UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.1 4
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.1 5
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.1 5.1

प्रश्न : द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए (प्रश्न 6 से 9 तक)

प्रश्न 6.
(96)3
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.1 6

प्रश्न 7.
(102)5
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.1 7

प्रश्न 8.
(101)4
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.1 8

प्रश्न 9.
(99)5
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.1 9

प्रश्न 10.
द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हुए बताइए कौन-सी संख्या बड़ी है-
(1.1)10000 या 1000
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.1 10

प्रश्न 11.
(a + b)4 – (a – b)4 का विस्तार कीजिए। इसका प्रयोग करके (√3 + √2)4 – (√3 – √2)4 का मान ज्ञात कीजिए।
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.1 11

प्रश्न 12.
(x + 1)6 + (x – 1)6 का मान ज्ञात कीजिए। इसका प्रयोग करके या अन्यथा (√2 + 1)6 + (√2 – 1)6 का मान ज्ञात कीजिए।
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.1 12

प्रश्न 13.
दिखाइए कि 9n+1 – 8n – 9, 64 से विभाज्य है जहाँ n एक धन पूर्णाक है।
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.1 13

UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.1 14

प्रश्नावली 8.2

प्रश्न 1 और 2 में गुणांक ज्ञात कीजिए:

प्रश्न 1.
(x + 3)8 में x5 का।
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.2 1

प्रश्न 2.
(a – 2b)12 में a5b7 का।
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.2 2
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.2 2.1

प्रश्न 3 व 4 के प्रसार में व्यापक पद लिखिए।

प्रश्न 3.
(x2 – y)6.
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.2 3

प्रश्न 4.
(x2 + yx)12, x ≠ 0.
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.2 4

प्रश्न 5.
(x – 2y)12 के प्रसार में चौथा पद ज्ञात कीजिए।
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.2 5

UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.2 6
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.2 7
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.2 7.1
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.2 8
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.2 8.1

प्रश्न 9.
(1 + a)m+n के प्रसार में सिद्ध कीजिए कि am तथा an के गुणांक बराबर हैं। UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.2 9

प्रश्न 10.
(x + 1)n के प्रसार में (r – 1) वाँ, r वाँ और (r + 1) वें पदों के गुणांक में 1 : 3 : 5 का अनुपात हो तो n तथा r का मान ज्ञात करो।
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.2 10
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.2 10.1

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि (1 + x)2n के प्रसार में xn का गुणांक, (1 + x)2n-1 के प्रसार में xn के गुणांक का दुगुना होता है।
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.2 11

प्रश्न 12.
m का धनात्मक मान ज्ञात वीजिए जिसके लिए (1 + x)mके प्रसार में x2 का गुणांक 6 हो।
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.2 12

अभ्यास 8 पर विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
यदि (a + b)n के प्रसार में प्रथम तीन पद क्रमशः 729, 7290 तथा 30375 हों तो a, b तथा n ज्ञात कीजिए।
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 1
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 1.1

प्रश्न 2.
यदि (3 + ax)9 के प्रसार में x2 और x3 के गुणांक समान हों, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 2

प्रश्न 3.
द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हुए गुणनफल (1 + 2x)6 (1 – x)7 में x5 का गुणांक ज्ञात कीजिए।
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 3
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 3.1

प्रश्न 4.
यदि a और b भिन्न-भिन्न पूर्णाक हों, तो सिद्ध कीजिए कि an – bn का एक गुणनखंड (a – b) है, जबकि n एक धन पूर्णाक है।
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 4

प्रश्न 5.
(√3 + √2)6 – (√3 – √2)6 का मान ज्ञात कीजिए।
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 5

UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 6

प्रश्न 7.
(0.99)5 प्रसार के पहले 3 पदों का प्रयोग करते हुए इसका निकटतम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 7

UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 8.1
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 9
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 9.1

प्रश्न 10.
(3x2 – 2ax + 3a2)3 का द्विपद प्रमेय से प्रसार ज्ञात कीजिए।
UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem 10