Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 9 निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions

विविध प्रश्नमाला 9

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (1 से 10 तक)

प्रश्न 1.
बिन्दु (3, 4) की y-अक्ष से दूरी होगी
(क) 1
(ख) 4
(ग) 2
(घ) 3

प्रश्न 2.
बिन्दु (5, – 2) की x-अक्ष से दूरी होगी।
(क) 5
(ख) 2
(ग) 3
(घ) 4

प्रश्न 3.
बिन्दु (0, 3) और (-2, 0) के बीच की दूरी होगी-
(क)  \sqrt{14}
(ख)  \sqrt{15}
(ग)  \sqrt{13}
(घ)  \sqrt{5}

प्रश्न 4.
(-2, 1), (2, – 2) और (5, 2) शीर्ष वाला त्रिभुज है-
(क) समकोण
(ख) समबाहु
(ग) समद्विबाहु
(घ) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 5.
बिन्दुओं (- 1, 1), (0, – 3), (5, 2) और (4, 6) से निर्मित चतुर्भुज होगा
(क) वर्ग
(ख) आयत
(ग) सम चतुर्भुज
(घ) समान्तर चतुर्भुज

प्रश्न 6.
बिन्दुओं (0, 0), (2, 0) और (0, 2) से समान दूरी वाला बिन्दु है
(क) (1, 2)
(ख) (2, 1)
(ग) (2, 2)
(घ) (1, 1)

प्रश्न 7.
बिन्दु (5, 0) और (0, 4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु P, 2 : 3 के अनुपात में अन्तःविभाजित करता है। P के निर्देशांक हैं-

प्रश्न 8.
यदि बिन्दु (1, 2), (- 1, x) और (2, 3) संरेख हों, तो x का मान होगा
(क) 2
(ख) 0
(ग) – 1
(घ) 1

प्रश्न 9.
बिन्दुओं (3, a) और (4, 1) की बीच की दूरी 10 हो तो a का मान होगा-
(क) 3, – 1
(ख) 2, – 2
(ग) 4, – 2
(घ) 5, – 3

प्रश्न 10.
यदि बिन्दु (x, y), बिन्दुओं (2, 1) और (1, – 2) से समान दूरी पर हों, तो-
(क) x + 3y = 0
(ख) 3x + y = 0
(ग) x + 2y = 0
(घ) 2y + 3x = 0

उत्तर-तालिका 1. (घ) 2.(ख) 3. (ग) 4.(क) 5. (घ) 6. (घ) 7. (क) 8. (ख) 9. (ग) 10. (क)

प्रश्न 11.
यदि एक चतुर्भुज के शीर्ष (1, 4), (-5, 4), (-5, – 3) और (1,- 3) हों, तो चतुर्भुज का प्रकार बताइए।
हल:

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अतः AB = CD और BC = AD ताथा विकर्ण AC = विकर्ण BD अतः दिये गये बिन्दु एक आयत के शीर्ष हैं।

प्रश्न 12.
बिन्दुओं (-2, 0), (2, 0), (2, 2), (0, 4), (-2, 2) को क्रम से मिलाने पर कौन सी आकृति प्राप्त होगी?
हल:
निम्न आकृति में सबसे पहले आयतीय निर्देशांक XOX’ तथा ‘YOY” खींचते हैं और दिये बिन्दु A(- 2, 0), B(2, 0), C(2, 2), D(0, 4) तथा E(- 2, 2) को चिह्नित करते हैं तो हमें पंचभुज प्राप्त होता है।

प्रश्न 13.
बिन्दु (1, 2) और (6, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु (3, 4) किस अनुपात में विभाजित करता है?
हल:
माना (1, 2) और (6, 7) को मिलाने वाला रेखाखण्ड m1 : m2 में विभाजित करते हैं।
3=\frac{m_{1} \times 6+m_{2} \times 1}{m_{1}+m_{2}}
3(m1 + m2) = 6m1 + m2
3m1 + 3m2 = 6m1 + m2
3m2 – m2 = 6m1 – 3m1
2m2 = 3m1
\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{2}{3}
अतः m1 : m2 = 2 : 3

प्रश्न 14.
किसी वर्ग के सम्मुख शीर्ष (5, -4) और (-3, 2) हैं। इसके विकर्ण की लम्बाई लिखिए।
हल:

अतः विकर्ण की लम्बाई 10 इकाई है। उत्तर

प्रश्न 15.
एक रेखा का एक सिरा (4, 0) है और मध्य बिन्दु (4, 1) है, तो रेखा के दूसरे सिरे के निर्देशांक क्या होंगे?
हल:
माना दूसरे सिरे के निर्देशांक (x2, y2) हैं।

∴ (a2, y2) = (4, 2) अतः दूसरे सिरे के निर्देशांक (4, 2) हैं। उत्तर

प्रश्न 16.
बिन्दुओं (6, 8) और (2, 4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के मध्य बिन्दु से बिन्दु (1, 2) की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए गए बिन्दुओं (6, 8) तथा (2, 4) के मध्य बिन्दु के निर्देशांक

प्रश्न 17.
किसी समतल में चार बिन्दु P(2,-1), Q(3, 4), R(-2, 3) और S(-3, – 2) हैं, तो सिद्ध कीजिए कि PQRS वर्ग नहीं एक समचतुर्भुज है।
हल:
PORS को समचतुर्भुज सिद्ध करने के लिए हमें सिद्ध करना होगा-
(i) PQ = QR = RS = SP तथा PR ≠ QS
(ii) PR का मध्य बिन्दु = QS का मध्य बिन्दु


⇒ PQRS के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित हो रहे हैं। अतः ये एक सम चतुर्भुज के विकर्ण हैं तथा चारों भुजाएँ भी बराबर हैं तथा विकर्ण आपस में बराबर नहीं हैं। अतः ये वर्ग नहीं हैं। ( इतिसिद्धम् )

प्रश्न 18.
सिद्ध कीजिए कि समकोण त्रिभुज AOB में कर्ण का मध्य बिन्दु c त्रिभुज के शीर्षों O, A और B से बराबर दूरी पर स्थित है।
हल:
यहाँ A = (2a, 0) तथा B = (0, 2b)
∴ मध्य बिन्दु = (C)

अतः समकोण AAOB में कर्ण का मध्य बिन्दु C त्रिभुज के शीर्षों O, A तथा B से बराबर दूरी पर स्थित है। ( इतिसिद्धम् )

प्रश्न 19.
उस त्रिभुज की माध्यिकाओं की लम्बाइयाँ ज्ञात कीजिए, जिसके शीर्ष (1,-1), (0, 4) तथा (-5, 3) हैं।
हल:

प्रश्न 20.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दुओं (5, 7) और (3, 9) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को मध्य बिन्दु वही है जो बिन्दुओं (8, 6) तथा (0, 10) को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्य बिन्दु है।
हल:
बिन्दु A(5, 7) तथा B(3, 9) का मध्य बिन्दु

अतः दोनों बिन्दुओं के रेखाखण्ड का मध्य बिन्दु समान है। ( इतिसिद्धम् )

प्रश्न 21.
यदि त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दु (1, 2), (0, -1) तथा (2,-1) हैं, तो त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
(x1 y1) व (x2 y2) बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा का मध्य बिन्दु होगा-
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अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
कार्तीय निर्देशांक पद्धति को प्रतिपादित करने वाला गणितज्ञ था
(क) डिकार्टीज
(ख) यूक्लिड
(ग) आयलर
(घ) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 2.
किसी बिन्दु से y-अक्ष से दूरी होती है
(क) बिन्दु की कोटि
(ख) बिन्दु का भुज
(ग) एक स्थिरांक
(घ) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 3.
x-अक्ष पर स्थित किसी बिन्दु की कोटि होती है
(क) 1
(ख) 0
(ग) – 1
(घ) + 1

प्रश्न 4.
बिन्दु (1, 2) की x-अक्ष से दूरी होगी
(क) 1
(ख) 3
(ग) 2
(घ) 4

प्रश्न 5.
बिन्दु (x, y) की मूल बिन्दु से दूरी है।
(क) x
(ख) y
(ग) x2 + y2
(घ)  \sqrt{x^{2}+y^{2}}

प्रश्न 6.
यदि (a, 0), (0, b) तथा (1, 1) सरेख हों, तो-
(क) a + b = 1
(ख) a + b = ab
(ग) a + b + 1 = 0
(घ) a + b + ab = 0

प्रश्न 7.
यदि A(4,- 3), B(3, – 2) तथा C(2, 8) किसी त्रिभुज के शीर्ष हों, तो y-अक्ष से इसके केन्द्रक की दूरी होगी-
(क) 1
(ख) 4
(ग) 3
(घ) 2

प्रश्न 8.
बिन्दु (0, 0), (4, 0) एवं (0, 3) वाले त्रिभुज की परिमिति है
(क) 6
(ख) 12
(ग) 10
(घ) 1

प्रश्न 9.
बिन्दुओं (3, 4) एवं (5, 6) को मिलाने वाली रेखा को x-अक्ष 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है; तो 2 का मान है|

प्रश्न 10.
(1, 1) और (4, – 5) को बिन्दु (2, – 1) किस अनुपात में विभाजित करता है-
(क) 1 : 2
(ख) 2 : 1
(ग) 1 : 1
(घ) 2 : 3

प्रश्न 11.
दो बिन्दुओं (0, cos ) तथा (sin 8, 0) के मध्य दूरी है
(क) 1
(ख) sin θ + cos θ
(ग)  \frac{1}{2}(\sin \theta+\cos \theta)
(घ) 0

प्रश्न 12.
यदि बिन्दु (x, 3) और (5, 7) के बीच की दूरी 5 हो, तो x का मान है-
(क) 2
(ख) 4
(ग) 0
(घ) 3

उत्तर-तालिका 1. (क) 2. (ख) 3. (ख) 4. (ग) 5. (घ) 6. (ख) 7. (ग) 8. (ख) 9. (ग) 10, (क) 11. (क) 12, (क)

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
बिन्दु (5, – 2) की y अक्ष से दूरी लिखिए।
हल:
5

प्रश्न 2.
बिन्दु (-2, 2), (8, – 2) तथा (-4, – 3) किस तरह के त्रिभुज के शीर्ष हैं?
हल:
यदि दिये गये बिन्दु क्रमशः A, B, C हों तो

∵ AB2 + CA2 = BC2
⇒ A, B, C समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं। उत्तर

प्रश्नं 3.
यदि (4, 3) और ( 2, – 1) किसी समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख शीर्ष हों तथा इसका तीसरा शीर्ष (1, 0) हो तो चौथे शीर्ष के निर्देशांकों का गुणनफल क्या होगा?
हल:
दिये गये सम्मुख शीर्षों को मिलाने वाले विकर्ण का मध्य बिन्दु है-
\left(\frac{4-2}{2}, \frac{3-1}{2}\right)  अर्थात् (1, 1) जो कि दूसरे विकर्ण का भी मध्य बिन्दु है। अतः यदि चौथा विकर्ण (x, y) हो तो  \frac{x+1}{2}=1  तथा  \frac{y+0}{2}=1
x = 1, y = 2 अतः गुणनफल 1 × 2 = 2 उत्तर

प्रश्न 4.
यदि बिन्दु (K, 2) तथा (3, 4) के बीच की दूरी  \sqrt{8}  हो, तो K: का मान लिखिए।
हल:
प्रश्नानुसार  (\sqrt{8})^{2}  = (K – 3)2 + (2 – 4)2
8 = (K – 3)2 + 4
4 = (K – 3)2
(K – 3) = ± 2
K = ± 2 + 3 ∴ K= 5 और K = 1

प्रश्न 5.
(-3, -4) तथा (1, – 2) बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखाखण्ड को y-अक्ष किस अनुपात में विभाजित करता है? लिखिए।
हल:
y-अक्ष पर x = 0
माना रेखाखण्ड λ : 1 में विभाजित करता है।

अतः अनुपात 3 : 1 उत्तर

प्रश्न 6.
बिन्दु (x, 5) तथा (4, 2) के मध्य दूरी 3 सेमी. हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दो बिन्दुओं के बीच की दूरी

प्रश्न 7.
बिन्दुओं (-2, 6) व (4, – 2) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के मध्य बिन्दु के निर्देशांक लिखिए।
हल:

प्रश्न 8.
किसी वर्ग के सम्मुख शीर्ष (-5, -4) और (3, 2) हैं। इसके विकर्ण की लम्बाई लिखिए।
हल:
वर्ग के विकर्ण की लम्बाई

लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
बिन्दु (2,-2) एवं (-1, 2) के मध्य की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बिन्दु (2, -2) और (-1, 2) P और Q है अतः

प्रश्न 2.
मूल बिन्दु से बिन्दु (3, 4) की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
मूल बिन्दु से दूरी  \begin{array}{l}{=\sqrt{(3-0)^{2}+(4-0)^{2}}} \\ {=\sqrt{9+16}=\sqrt{25} \Rightarrow 5}\end{array}  उत्तर

प्रश्न 3.
यदि A, B और C के निर्देशांक क्रमशः (6, -1), (1, 3) तथा (x, 8) हैं तो x का मान ज्ञात कीजिये जबकि AB = BC हो।
हल:
दिया गया है- AB = BC
(AB)2 = (BC)2
(6 – 1)2 + (-1 – 3)2 = (x – 1)2 + (8 – 3)2
25 + 16 = (x – 1)2 + 25
16= (x – 1)2
± 4 = (x – 1)
धनात्मक चिह्न लेने पर
∴ 4= x – 1 ∴ x = 5
इसी प्रकार ऋणात्मक चिह्न लेने पर।
– 4= x – 1 ∴ – 4 + 1 = x
x = – 3
अतः x का मान – 3 या 5 होगा। उत्तर

प्रश्न 4.
यदि बिन्दु (x, y) बिन्दुओं (a + b, b – a) और (a – b, a + b) से बराबर दूरी पर स्थित हो, तो सिद्ध कीजिये कि bx = ay.
हल:
माना दिये बिन्दु A(x, y), B(a + b, b – a) और C(a – b, a + b)
अतः प्रश्नानुसार
AB = AC
या, (AB)2 = (AC)2
या, [x – (a + b)2 + [y – (b – a)2 = [x – (a – b)2 + [y – (a + b)]2
या, x2 – 2(a + b) x + (a + b) 2 + y2 – 2(b – a)y + (b – a)2
= x2 – 2(a – b)x + (a – b)2 + y2 – 2(a + b)y + (a + b)2
या, – 2(a + b) x – 2(b – a)y = – 2(a – b)x – 2(a + b)y
या, x [-2a – 2b + 2a – 2b] = y [-2a – 2b + 2b – 2a]
या, -4bx = – 4ay
या, bx = ay इतिसिद्धम्

प्रश्न 5.
यदि बिन्दु A (2, 5) और बिन्दु B को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्य बिन्दु P (-1, 2) हो, तो बिन्दु B के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बिन्दु B (a1, y1) है और दिया गया बिन्दु P मध्य बिन्दु है।

प्रश्न 6.
बिन्दुओं (1, -2) तथा (4, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु (2, 1) किस अनुपात में विभाजित करता है?
हल:
माना दिये हुए बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखाखण्ड को बिन्दु (2, 1), λ : 1 में विभाजित करता है। अन्त:विभाजन सूत्र से

अतः अभीष्ट अनुपात 1: 2 है।
नोट-कोटि के मान से भी हमें यही अनुपात प्राप्त होगा।

प्रश्न 7.
यदि बिन्दु A(2, 5) और B को मिलाने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु P(-1, 2), 3 : 4 के अनुपात में अन्त:विभाजित करता है तो B के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना B के निर्देशांक (x1, y1) हैं और दिया है-AP : BP = 3 : 4
अन्त:विभाजन सूत्र से

-1=\frac{3 \times x_{1}+4 \times 2}{3+4}

अतः B के निर्देशांक (-5, – 2) हैं। (इतिसिद्धम् )

प्रश्न 8.
यदि बिन्दु (x, 3) और (5, 7) के बीच की दूरी 5 हो, तो x का मान ज्ञात कीजिये। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2018)
हल:
दो बिन्दुओं के बीच की दूरी

दोनों तरफ वर्ग करने पर
25 = (5 – x)2 + 16
⇒ 25 – 16 = (5 – x)2
या (5 – x)2 = 9 ∴ (5 – x) =  \pm \sqrt{9}  = ±3
स्थिति I. धनात्मक चिह्न लेने पर
5 – x= 3
∴ x= 5 – 3 = 2
स्थिति II. ऋणात्मक चिह्न लेने पर
5 – x= – 3
∴ x = 5 + 3 = 8 अतः x = 2, 8 उत्तर

निबन्धात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि बिन्दु P(x, y) उसे वृत्त पर स्थित हो, जिसका केन्द्र (3, 2) और जिसकी त्रिज्या 3 मात्रक है तो सिद्ध कीजिये कि
x2 + y2 – 6x + 4y + 4 = 0
हल:
दिया गया है-
वृत्त की त्रिज्या OP = 3
\sqrt{(x-3)^{2}+(y+2)^{2}}=3
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
⇒ (x – 3)2 + (y + 2)2 = (3)2 = 9
x2 + 9 – 6x + y2 + 4 + 4y = 9
x2 + y2 – 6x +4y + 4 = (0 (इतिसिद्धम् )

प्रश्न 2.
यदि बिन्दु A(6, 1), B(8, 2), C(9, 4) और D(x, y) क्रम में एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं तो बिन्दु D(x, y) ज्ञात कीजिये।
हल:
बिन्दु A(6, 1), B(8, 2), C(9, 4) तथा D(x, y) दिये गये एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं। हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
अतः विकर्ण AC के मध्य बिन्दु के निर्देशांक = विकर्ण BD के मध्य बिन्दु के निर्देशांक

अतः बिन्दु D के निर्देशांक (7, 3) उत्तर

प्रश्न 3.
यदि A तथा B क्रमशः (-2, – 2) और (2,- 4) हों, तो बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिये ताकि  \mathbf{A P}=\frac{3}{7} \mathbf{A B}  हो और P रेखाखण्ड AB पर स्थित है।
हल:
माना अभीष्ट बिन्दु P(x, y) है।
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प्रश्न 4.
एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में (3, 0), (4, 5), (-1, 4) तथा (-2, – 1) हैं।
हल:
माना समचतुर्भुज ABCD के शीर्षों के निर्देशांक A(3, 0), B(4, 5), C(-1, 4) तथा D(- 2, – 1) है।


अतः समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 24 वर्ग मात्रक उत्तर

प्रश्न 5.
बिन्दुओं P(-3, 4) तथा Q(4, 5) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि A(31, y) और B(४), 2) अभीष्ट बिन्दु हैं जो बिन्दुओं P(-3, 4) और Q(4, 5) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करते हैं।

अतः बिन्दु A, PQ को 1 : 2 के अनुपात में तथा बिन्दु B, PQ को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करती है बिन्दु के लिए,

प्रश्न 6.
त्रिभुज ABC की माध्यिकाओं की लम्बाई ज्ञात कीजिए, जिसके शीर्ष A(3, -2), B(0, 6) और C(-2, 4) हैं। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2017-18)
हल:
मध्य बिन्दु D, E तथा F के निर्देशांक