Chapter 9 निर्देशांक ज्यामिति Ex 9.2

Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 9 निर्देशांक ज्यामिति Ex 9.2

प्रश्न 1.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (3, 5) और (7, 9) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2 : 3 के अनुपात में अन्त:विभाजित करता है।
हल:
माना अभीष्ट बिन्दु (x, y) हैं।
यहाँ x₁ = 3, x₂ = 7,
y₁ = 5, y₂ = 9 तथा m₁ = 2, m₂ = 3

प्रश्न 2.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (5, -2) और (-13, 4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 7 : 9 में बाह्य विभाजित करता है।
हल:
माना अभीष्ट बिन्दु (x, y) हैं।

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि मूल बिन्दु 0 बिन्दुओं A(1, – 3) और B(-3, 9) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 1 : 3 के अनुपात में अन्तःविभाजित करता है। बाह्य विभाजन करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कोई बिन्दु (x, y) दिये गये बिन्दुओं A(1, -3) और B(-3, 9) को 1 : 3 के अनुपात में अन्त:विभाजित करता है।
यहाँ x₁ = 1, x₂ = – 3, y₁ = – 3, y₂ = 9, तथा m₁ = 1, m₂ = 3

∵ प्राप्त बिन्दु के निर्देशांक (0, 0) हैं जो मूलबिन्दु है। अतः मूलबिन्दु 0 दिए गए बिन्दुओं के मिलाने वाले रेखाखण्ड को 1 : 3 के अनुपात में अन्त:विभाजित करता है। यही सिद्ध करना था।
अब बाह्य बिन्दु के निर्देशांक

अतः बाह्य विभाजन करने वाले बिन्दु P के निर्देशांक (3,-9) हैं।(इतिसिद्धम्)

प्रश्न 4.
बिन्दुओं (22, 20) और (0, 16) को मिलाने वाली रेखा के मध्य बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना मध्य बिन्दु के निर्देशांक P(x, y) हैं।

अतः मध्य बिन्दु के निर्देशांक P(x, y) = (11, 18) उत्तर

प्रश्न 5.
बिन्दुओं (5, 3) और (-3, – 2) को मिलाने वाला रेखाखण्ड x-अक्ष द्वारा किस अनुपात में विभाजित होता है?
हल:
x-अक्ष पर स्थित प्रत्येक बिन्दु की कोटि शून्य होती है। माना बिन्दु P (x, 0) रेखाखण्ड को m₁ : m₂ के अनुपात में विभाजित करता है।

अतः दिये बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड x-अक्ष द्वारा 3 : 2 के अनुपात में अन्तः विभाजित होता है। उत्तर

प्रश्न 6.
बिन्दुओं (2, – 3) और (5, 6) को मिलाने वाला रेखाखण्ड y-अक्ष से किस अनुपात में विभाजित होता है?
हल:
y-अक्ष पर स्थित प्रत्येक बिन्दु का भुज शून्य होता है। माना रेखाखण्ड y-अक्ष द्वारा m₁ : m₂ अनुपात में विभाजित होता है। अतः अन्त:विभाजन बिन्दु का भुज x = 0 होगा।

या 5m₁ + 2m₂= 0
या 5m₁ = – 2m₂
या 
अतः दिया हुआ रेखाखण्ड y-अक्ष द्वारा 2 : 5 अनुपात में बाह्य विभाजित होता है।

प्रश्न 7.
बिन्दुओं (15, 5) और (9, 20) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु (11, 15) किस अनुपात में विभाजित करता है?
हल:
माना कि बिन्दु C(11, 15) दिए गए रेखाखण्ड AB को 2 : 1 अनुपात में विभाजित करता है।

परन्तु प्रश्नानुसार बिन्दु C के निर्देशांक (11, 15) हैं।
विभाजन के सूत्र से

या 9λ + 15 = 11λ + 11
⇒ 9λ – 11λ = 11 – 15
– 2λ = – 4
λ = 2
∴ अभीष्ट अनुपात 2 : 1 होगा।

प्रश्न 8.
यदि बिन्दु P(3, 5) बिन्दुओं A(-2, 3) और B को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 4 : 7 के अनुपात में अन्त:विभाजित करता है, तो B के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बिन्दु B के निर्देशांक B(x, y) हैं। ये अन्त:विभाजित होते हैं। दिया है- AP: BP = 4 : 7

प्रश्न 9.
बिन्दुओं (11, 9) और (1, 2) को मिलाने वाली रेखा को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि रेखा AB को P तथा P’ तीन बराबर भागों में (समत्रिभाजन) बाँटते हैं।

प्रश्न 10.
बिन्दुओं (-4, 0) और (0, 6) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 4 बराबर भागों में बांटने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए गए बिन्दुओं के मध्य बिन्दु के निर्देशांक

प्रश्न 11.
ज्ञात कीजिए कि रेखा 3x + y = 9 बिन्दुओं (1, 3) तथा (2, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को किस अनुपात में विभाजित करती है? (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2018)
हल:
माना बिन्दु A(1, 3) तथा B(2, 7) को मिलाने वाला रेखाखण्ड 3x + y = 9 को 2 : 1 में विभाजित करता है अतः विभाजन बिन्दु के निर्देशांक

प्रश्न 12.
वह अनुपात ज्ञात कीजिए जबकि बिन्दु (-3, p) बिन्दुओं (-5,-4) और (-2, 3) को अन्त:विभाजित करता है। p का मान भी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना C(-3, p) AB को अनुपात k : 1 में विभाजित करता है।
∴ विभाजन के नियम से

अत: अभीष्ट अनुपात 2 : 1 है तथा   उत्तर