Chapter 9 Sequences and Series (अनुक्रम तथा श्रेणी).

Chapter 9 Sequences and Series (अनुक्रम तथा श्रेणी).

प्रश्नावली 9.1

प्रश्न 1 से 6 तक के अनुक्रमों में प्रत्येक के प्रथम पाँच पद लिखिए, जिनका नाव पद दिया गया है।

प्रश्न 1.
a_n = n(n + 2).
हल:
a_n = n(n + 2)
n का मान 1, 2, 3, 4, 5 रखने पर
a₁ = 1 x 3 = 3,
a₂ = 2 x 4 = 8,
a₃ = 3 x 5 = 15,
a₄ = 4 x 6 = 24,
a₅ = 5 x 7 = 35
अतः दिए गए अनुक्रम के पाँच पद 3, 8, 15, 24, 35 हैं।

प्रश्न 2.
a_n = 

प्रश्न 3.
a_n = 2ⁿ

प्रश्न 4.
a_n = 

प्रश्न 5.
a_n = (-1)^n-1 5ⁿ⁺¹.

निम्नलिखित प्रश्न 7 से 10 तक के अनुक्रमों में प्रत्येक का वांछित पद ज्ञात कीजिए, जिनका शव पद दिया गया है:

प्रश्न 7.
a_n = 4n -3, a₁₇, a₂₄

प्रश्न 11 से 13 तक प्रत्येक अनुक्रम के पाँच पद लिखिए तथा संगत श्रेणी ज्ञात कीजिए:

प्रश्न 11.
a₁ = 3, a_n = 3a_n-1 + 2 सभी n > 1 के लिए।

प्रश्न 13.
a₁ = a₂ = 2, a_n = a_n-1 – 1, जहाँ n > 2.

प्रश्न 14.
Fibonacci अनुक्रम निम्नलिखित रूप में परिभाषित है :

प्रश्नावली 9.2

प्रश्न 1.
1 से 2001 तक के विषम पूर्णाकों का योग ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 2.
100 तथा 1000 के मध्य उन सभी प्राकृत संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो 5 के गुणज हों।

प्रश्न 3.
किसी समांतर श्रेणी में प्रथम पद 2 है तथा प्रथम पांच पदों का भागफल, अगले पांच पदों के योगफल का एक चौथाई है। दर्शाइए कि 20वाँ पद -112 है।

प्रश्न 4.
समांतर श्रेढी – 6,  , 5 …… के कितने पदों का योगफल – 25 है?

प्रश्न 5.
किसी समांतर श्रेढ़ी का p वाँ पद  तथा p वा पद  हो, तो सिद्ध कीजिए कि प्रथम pq पदों का योग  (pq + 1) होगा, जहाँ p ≠ q.

प्रश्न 6.
यदि किसी समांतर श्रेणी 25, 22, 19, ……. के कुछ पदों का योगफल 116 है तो अंतिम पद ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 7.
उस समांतर श्रेणी के n पदों को योगफल ज्ञात कीजिए जिसका वाँ पद 5k + 1 हैं।

प्रश्न 8.
यदि किसी समांतर श्रेणी के n पदों का योगफले pn + qn² है, जहाँ p तथा q अचर हों तो सार्वअंतर ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 9.
दो समांतर श्रेणियों के n पदों के योगफल का अनुपात 5n + 4 : 9n + 6 हो, तो उनके 18 वें पदों का अनुपात ज्ञात करो।
हल:
मान लीजिए समातर श्रेणियों के प्रथम पद a₁, a₂, तथा सार्वअंतर d₁ और d₂ हैं। यदि S_n, S’_n उनके संगत योगफल हैं। T₁₈ और T’₁₈ उनके संगत 18वें पद हैं।

प्रश्न 10.
यदि किसी समांतर श्रेणी के प्रथम p पदों का योग, प्रथम q पदों के योगफल के बराबर हो, तो प्रथम (p + q) पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 11.
यदि किसी समांतर श्रेणी के प्रथम p, q, r पदों का योगफल क्रमशः a, b, c, हो तो सिद्ध कीजिए कि:

प्रश्न 12.
किसी समांतर श्रेणी के m तथा n पदों के योगफलों का अनुपात m² : n² है तो दर्शाइए कि वे m तथा n वें पदों का अनुपात (2m – 1) : (2n -1) है।

प्रश्न 13.
यदि किसी समांतर श्रेणी के पदों का योगफल 3n² + 5n है तथा इसका m वाँ पद 164 है तो m का मान ज्ञात करो।

प्रश्न 14.
8 और 26 के बीच ऐसी 5 संख्याएँ डालिए ताकि प्राप्त अनुक्रम एक समांतर श्रेणी बन जाए।

प्रश्न 16.
m संख्याओं को 1 तथा 31 के बीच रखने पर प्राप्त अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है। और 7 वीं एवं (m – 1) वीं संख्याओं का अनुपात 5 : 9 है, तो m का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 17.
एक व्यक्ति ऋण का भुगतान 100 रुपए की प्रथम किश्त से शुरू करता है। यदि वह प्रत्येक किश्त में 5 रुपए प्रति माह बढ़ाता है, तो 30 वीं किश्त की राशि क्या होगी?
हुल:
पहली किश्त a = 100 रु.
हर माह किश्त में बढ़ोत्तरी = सार्व अंतर = 5 रु.
30वीं किश्त = समांतर श्रेणी का 30वाँ पद = a + (n – 1)d
= 100 + (30 – 1) 5 = 100 + 29 x 5 = 100 + 145 = 245 रु.

प्रश्न 18.
एक बहुभुज के दो क्रमिक अंतः कोणों का अंतर 5° है। यदि सबसे छोटा कोण 120° हो, तो बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

प्रश्नावली 9.3

प्रश्न 1.
गुणोत्तर श्रेणी  ,  ,  ……. का 20 वाँ तथा n वाँ पद ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 2.
उस गुणोत्तर श्रेणी का 12 वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 8वाँ पद 192 तथा सार्व अनुपात 2 है।

प्रश्न 3.
किसी गुणोत्तर श्रेणी का 5 वाँ, 8 वाँ तथा 11 वाँ पदक्रमशः p, q तथा s हैं, तो दिखाइए कि q² = ps.

प्रश्न 4.
किसी गुणोत्तर श्रेणी का चौथा पद उसके दूसरे पद का वर्ग है तथा प्रथम पद -3 है, तो 7वाँ पद ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 5.
अनुक्रमों को कौन सा पद:

प्रश्न 6.
x के किस मान के लिए संख्याएँ  , x ,  गुणोत्तर श्रेणी में हैं?

प्रश्न 7 से 10 तक प्रत्येक गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 7.
0.15, 0.015, 0.0015, ….. 20 पदों तक।

प्रश्न 8.
√7, √21, 3√7, …. n पदों तक।

प्रश्न 9.
1, -a, -a², -a³ …. n पदों तक (यदि a ≠ -1).

प्रश्न 10.
x³ , x⁵, x⁷ … n पदों तक (यदि x ≠ ±1).

प्रश्न 12.
एक गुणोत्तर श्रेणी के तीन पदों का योगफल  है तथा उनका गुणनफल 1 है। सार्व अनुपात तथा पदों को ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 13.
मुणोत्तर श्रेणी 3, 3², 3³, …… के कितने पद आवश्यक हैं ताकि उनका योगफल 120 हो जाए।

प्रश्न 14.
किसी गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम तीन पदों का योगफल 16 है तथा अगले 3 पदों का योग 128 है तो गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद, सार्व अनुपात तथा n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 15.
एक गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद a = 729 तथा 7वाँ पद 64 है, तो S₇ ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 16.
एक गुणोत्तर श्रेणी को ज्ञात कीजिए, जिसके प्रथम दो पदों का योगफल -4 है तथा 5वाँ पद तृतीय पद को 4 गुना है।

प्रश्न 17.
यदि किसी गुणोत्तर का 4 वाँ, 10 वाँ तथा 16 वाँ पद क्रमशः x, y तथा z हैं, तो सिद्ध कीजिए कि x, y, z गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

प्रश्न 18.
अनुक्रम 8, 88, 888, ……. के n पदों का योग ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 19.
अनुक्रम 2, 4, 8, 16, 32, तथा 128, 32, 8, 2,  के संगत पेदीं के गुणनफल से बने अनुक्रम का योगफल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 20.
दिखाइए कि अनुक्रम a, ar, ar²,….ar^n-1 तथा A, AR, AR², … AR^n-1 के संगत पदों के गुणनफल से बना अनुक्रमे गुणोत्तर श्रेणी होती है तथा सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 21.
ऐसे चार पद ज्ञात कीजिए जो गुणोत्तर श्रेणी में हो, जिसका तीसरा पद प्रथम पद से 9 अधिक हो, तथा दूसरा पद चौथे पद से 18 अधिक हो।

प्रश्न 22.
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का p वाँ, q वाँ तथा r वाँ पद क्रमशः a, b, तथा c हो, तो सिद्ध कीजिए कि a^q-r . b^r-p – c^p-q = 1.

प्रश्न 23.
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम तथा n वाँ पद a तथा b हैं, एवं P, n पदों का गुणनफल हो, तो सिद्ध कीजिए कि P² = (ab)ⁿ.

प्रश्न 24.
दिखाइए कि एक गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योगफल तथा (n + 1)वें पद से (2n) वें पद तक के पदों के योगफल का अनुपात  हैं।

प्रश्न 25.
यदि a, b, c तथा d गुणोत्तर श्रेणी में हैं तो दिखाइए कि (a² + b² + c²) (b² + c² + d²) = (ab + bc + cd)².

प्रश्न 26.
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनको 3 और 81 के बीच रखने पर प्राप्त अनुक्रमः एक गुणोत्तर श्रेणी बन जाए।

प्रश्न 28.
दो संख्याओं का योगफल उनके गुणोत्तर माध्य का 6 गुना है तो दिखाइए कि संख्याएँ (3 + 2√2) : (3 – 2√2) के अनुपात में हैं।

प्रश्न 29.
यदि A तथा G दो धनात्मक संख्याओं के बीच क्रमशः समांतर तथा गुणोत्तर माध्य हों, तो सिद्ध करो कि संख्याएँ A ≠ √{(A + G)(A – G)} हैं।

प्रश्न 30.
किसी कल्चर में बैक्टीरिया की संख्या प्रत्येक घण्टे के पश्चात् दुगुनी हो जाती है। यदि प्रारंभ में उसमें 30 बैक्टीरिया उपस्थित थे, तो बैक्टीरिया की संख्या दूसरे, चौथे तथा n वें घण्टों बाद क्या होगी ?
हल:
प्रारम्भ में बैक्टीरिया की संख्या a = 30
प्रत्येक घण्टे बाद बैक्टीरिया की संख्या दुगुनी हो जाती है।
सार्व अनुपात = 2
दूसरे घण्टे बाद बैक्टीरिया संख्या = ar² = 30 x 2² = 120
चौथे घण्टे बाद बैक्टीरिया संख्या = ar⁴ = 30 x 2⁴ = 480
n वें घण्टे बाद बैक्टीरिया संख्या = arⁿ = 30 x 2ⁿ

प्रश्न 31.
500 रुपए धनराशि 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर 10 वर्षों बाद क्या हो जाएगी, ज्ञात कीजिए ?

प्रश्न 32.
यदि किसी द्विघात समीकरण के मूलों के समांतर माध्य एवं गुणोत्तर माध्य क्रमशः 8 तथा 5 हैं, तो द्विधातीय समीकरण ज्ञात कीजिए।

प्रश्नावली 9.4

प्रश्न 1 से 7 तक प्रत्येक श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए:

प्रश्न 1.
1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 +….

प्रश्न 2.
1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 + 3 x 4 x 5 + …….

प्रश्न 3.
3 x 1² + 5 x 2² + 7 x 3² + …….

प्रश्न 5.
5² + 6² + 7² +… 20².

प्रश्न 6.
3 x 8 + 6 x 11 + 9 x 14+…..

प्रश्न 7.
1² + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) + ….

प्रश्न 8 से 10 तक प्रत्येक श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका वाँ पद दिया है।

प्रश्न 8.
n (n + 1) (n + 4).

प्रश्न 9.
n² + 2ⁿ

प्रश्न 10.
(2n – 1)²

अध्याय 9 पर विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
दर्शाइए कि किसी समांतर श्रेढ़ी के (m + n) वें तथा (m – n) वें पदों का योग m वें पद को दुगुना है।

प्रश्न 2.
यदि किसी समांतर श्रेढ़ी की तीन संख्याओं का योग 24 है तथा उनका गुणनफल 440 है तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 3.
माना कि किसी समांतर श्रेढ़ी के n, 2n तथा 3n पदों का योगफल क्रमशः S₁, S₂ तथा S₃ हैं, तो दिखाइए कि S₃ = 3(S₂ – S₁).

प्रश्न 4.
200 और 400 के मध्य आने वाली ने सभी संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो 7 से विभाजित है।

प्रश्न 5.
1 से 100 तक आने वाले ने सभी पूर्णाकों का योगफल ज्ञात कीजिए जो 2 या 5 से विभाजित हों।

प्रश्न 6.
दो अंकों की उन सभी संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए, जिनको 4 से विभाजित करने पर शेषफल 1 हो।

प्रश्न 8.
गुणोचर श्रेढ़ी के कुछ पदों का योग 315 है, उसका प्रथम पद तथा सार्व अनुपात क्रमशः 5 और 2 हैं। अंतिम पद तथा पदों की संख्या ज्ञात करो।

प्रश्न 9.
किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद 1 है। तीसरे एवं पाँचवें पदों का योग 90 हो, तो गुणोत्तर श्रेढ़ी को सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 10.
किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी के तीन पदों का योग 56 है। यदि हम क्रम से इन संख्याओं में से 1, 7, 21 घटाएँ तो हमें एक समांतर श्रेढी प्राप्त होती है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 11.
किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी के पदों की संख्या सम है। यदि उसके सभी पदों का योगफल, विषम स्थान पर रखे पदों के योगफल को 5 गुना है, तो सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 12.
एक समांतर श्रेढ़ी के प्रथम चार पदों का योगफल 56 है। अंतिम चार पदों का योगफल 112 है। यदि इसका प्रथम पद 11 है, तो पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 14.
किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी में S, n पदों का योग, P उनका गुणनफल तथा R उनके व्युत्क्रमों का योग हो तो सिद्ध कीजिए कि P² Rⁿ = Sⁿ

प्रश्न 15.
किसी समांतर श्रेढ़ी का p वाँ, q वाँ, r वाँ पद क्रमशः a, b, c हैं, तो सिद्ध कीजिए : (q – r) a + (r – p) b + (p – q) c = 0.

प्रश्न 17.
यदि a, b, c, d गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि (aⁿ + bⁿ), (bⁿ + cⁿ), (cⁿ + dⁿ) गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं।

प्रश्न 18.
यदि x² – 3x + p = 0 के मूल a तथा b हैं तथा? x² – 12x + q = 0 के मूल c तथा d हैं, जहाँ a, b, c, d गुणोत्तर श्रेढ़ी के रूप में हैं। सिद्ध कीजिए कि (q + p) : (q – p) = 17 : 15.

प्रश्न 19.
दो धनात्मक संख्याओं a और 6 के बीच समांतर माध्य तथा गुणोत्तर मध्य का अनुफ्त m : n है। दर्शाइए कि

प्रश्न 20.
यदि a, b, c समांतर श्रेढ़ी में हैं; b, c, d गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं तथा  ,  ,  समांतर श्रेढ़ी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि a, c, e गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं।

प्रश्न 21.
निम्नलिखित श्रेढ़ियों के n पदों का योग ज्ञात कीजिए:
(i) 5 + 55 + 555 + ……
(ii) 0.6 + 0.66 + 0.666 + …..

प्रश्न 22.
श्रेढ़ी का 20वाँ पद ज्ञात कीजिए : 2 x 4 + 4 x 6 + 6 x 8 + ….. + n पदों तक
हल:
2, 4, 6, ….. का 20 वाँ पद = 2n = 2 x 20 = 40
4, 6, 8…… का 20 वाँ पद = 4 + 19 x 2 = 4 + 38 = 42
2 x 4 + 4 x 6 + 6 x 8 +…… का 20 वाँ पद = 40 x 42 = 1680.

प्रश्न 23.
श्रेणी 3 + 7 + 13 + 21 + 31 + ….. के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 25.
निम्नलिखित श्रेणियों के n पदों का योग ज्ञात कीजिए:

प्रश्न 27.
कोई किसान एक पुराने ट्रैक्टर को 12000 रु. में खरीदता है। वह 6000 रू. नकद भुगतान करता है। और शेष राशि को 500 रू की वार्षिक किस्त के अतिरिक्त उस धन पर जिसका भुगतान न किया गया हो 12% वार्षिक ब्याज भी देता है। किसान को ट्रैक्टर की कुल कितनी कीमत देनी पड़ेगी?

प्रश्न 28.
शमशाद अली 22000 रू में एक स्कूटर खरीदता है। वह 4000 रू नकद देता है और शेष राशि को 1000 रू वार्षिक किस्त के अतिरिक्त उस धन पर जिसका भुगतान न किया गया हो 10% वार्षिक ब्याज भी देता है। उसे स्कूटर के लिए कुल कितनी राशि चुकानी पड़ेगी?

प्रश्न 29.
एक व्यक्ति अपने चार मित्रों को पत्र लिखता है। वह प्रत्येक को उसकी नकल करके चार दूसरे व्यक्तियों को भेजने का निर्देश देता है, तथा जिनसे यह भी करने को कहता है कि प्रत्येक पत्र प्राप्त करने वाला व्यक्ति इस श्रृंखला को जारी रखे। यह कल्पना करके कि श्रृंखला न टूटे तो 8वें पत्रों के समूह भेजे जाने तक कितना डाक खर्च होगा जबकि एक पत्र का डाक खर्च 50 पैसे है।

प्रश्न 30.
एक आदमी ने एक बैंक में 10000 रूपये 5% वार्षिक साधारण ब्याज पर जमा किया। जब से रकम बैंक में जमा की गई तब से, 15वें वर्ष में उसके खाते में कितनी रकम हो गई तथा 20 वर्षों बाद कुल कितनी रकम हो गयी, ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 31.
एक निर्माता घोषित करता है कि उसे की मशीन जिसका मूल्य 15625 रूपये है, हर वर्ष 20% की दर से उसका अवमूल्यन होता है। 5 वर्ष के बाद मशीन का अनुमानित मूल्य ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 32.
किसी कार्य को कुछ दिनों में पूरा करने के लिए 150 कर्मचारी लगाए गए। दूसरे दिन 4 कर्मचारियों ने काम छोड़ दिया, तीसरे दिन चार और कर्मचारियों ने काम छोड़ दिया तथा इस प्रकार अन्य। अब कार्य पूरा करने में 8 दिन अधिक लगते हैं, तो दिनों की संख्या ज्ञात कीजिए, जिनमें कार्य पूरा किया गया।