समान्तर श्रेढ़ी Ex 5.1

Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ी Ex 5.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ी के लिए प्रथम पद a एवं सार्वअन्तर d ज्ञात कीजिए-
(i) 6, 9, 12, 15, …..
(ii) – 7, – 9, – 11, – 13, …..
(iii)

$\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{-1}{2}, \frac{-3}{2}, \dots .$
(iv) 1, – 2, – 5, – 8, …..
(v) $-1, \frac{1}{4}, \frac{3}{2}, \dots . .$
(vi) 3, 1, – 1, – 3, ….
(vi) 3, – 2, – 7, – 12, ….
हल:
(i) दी गई समान्तर श्रेढ़ी है-
6, 9, 12, 15, …..
स्पष्टतः a = 6 और d = 9 – 6 = 3 है।

(ii) दी गई समान्तर श्रेढी है-
– 7, – 9, – 11, – 13, …..
स्पष्टतः a = – 7 और d = – 9 – (- 7) = – 9 + 7 = – 2 है।

(iii) दी गई समान्तर श्रेढ़ी है-
$\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{-1}{2}, \frac{-3}{2}, \ldots .$
स्पष्टत: a = 3 और $d=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=\frac{-2}{2}=-1$ है।

(iv) दी गई समान्तर श्रेढ़ी है-
1, – 2, – 5, – 8, …..
स्पष्टतः a = 1 और d = – 2 – (1) = – 2 – 1 = – 3 है।

(v) दी गई समान्तर श्रेढ़ी है-
$-1, \frac{1}{4}, \frac{3}{2}, \dots .$
स्पष्टत: a = -1 और $d=\frac{1}{4}-(-1)=\frac{1}{4}+1=\frac{5}{4}$ है।

(vi) दी गई समान्तर श्रेढ़ी है-
3, 1, – 1, – 3, ….
स्पष्टतः 4 = 3 और d = 1 – 3 = – 2 है।

(vii) दी गई समान्तर श्रेढी है-
3, – 2, – 7, – 12, ….
स्पष्टतः 4 = 3 और d = – 2 – 3 = – 5 है।

प्रश्न 2.
यदि किसी समान्तर श्रेढ़ी के लिए प्रथम पद a एवं सार्वअन्तर d निम्नानुसार दिया हुआ है, तो उस श्रेढ़ी के प्रथम चार पद लिखिए।
(i) a = – 1, $d=\frac{1}{2}$
(ii) $a=\frac{1}{3}, \quad d=\frac{4}{3}$
(iii) a = 0.6, d = 1.1
(iv) a = 4, d = – 3 |
(v) a = 11, d = – 4
(vi) a = -1.25, d = – 0.25
(vii) a = 20, $d=\frac{-3}{4}$
हल:
∵ यदि प्रथम पद a और सार्वअन्तर d हो, तो a और d के विभिन्न मानों के लिए a, d + d, a + 2d, a + 3d, ….. एक समान्तर श्रेढी दर्शाती है।
(i) a = – 1, $d=\frac{1}{2}$ को a, a + d, a + 2d, a + 3d…. में रखने पर हम अभीष्ट समान्तर श्रेढ़ी प्राप्त करते हैं, जो निम्न है-

(ii) $a=\frac{1}{3}$ और $d=\frac{4}{3}$ को a, a + d, a + 2d, a + 3d, ….. में रखने पर हम अभीष्ट समान्तर श्रेढी प्राप्त करते हैं, जो निम्न है-

(iii) a = 0.6, d = 1.1 को a, a + d, a + 2d, a + 3d, ….. में रखने पर हम अभीष्ट समान्तर श्रेढी प्राप्त करते हैं, जो निम्न है
0.6, 0.6 + 1.1, 0.6 + 2 × 1.1, 0.6 + 3 × 1.1
अर्थात् यह 0.6, 1.7, 2.8, 3.9 है। उत्तर

(iv) a = 4, d = – 3 को a, a + d, a + 2d, a + 3d, ….. में रखने पर हम अभीष्ट समान्तर श्रेढ़ी प्राप्त करते हैं, जो निम्न है-
4, 4 – 3, 4 + 2 × (-3), 4 + 3 × (-3)
4, 1, 4 – 6, 4 – 9,
4, 1, – 2, – 5
अर्थात् यह 4, 1, – 2, – 5 है। उत्तर

(v) a = 11, d = – 4 को a, a + d, a + 2d, a + 3d, ….. में रखने पर हम अभीष्ट समान्तर श्रेढी प्राप्त करते हैं, जो निम्न है-
11, 11 + (-4), 11 + 2 × (- 4), 11 + 3(-4)
11, 7, 3, – 1
अर्थात् यह 11, 7, 3, – 1 है। उत्तर

(vi) a = – 1.25, d = – 0.25 को a, a + d, a + 2d, a + 3d, ….. में रखने पर हम अभीष्ट समान्तर श्रेढी प्राप्त करते हैं, जो निम्न है-
– 1.25, – 1.25 + (- 0.25), – 1.25 + 2 × (-0.25)
– 1.25 + 3 × (- 0.25)
– 1.25, – 1.25 – 0.25, – 1.25 – 0.50, – 1.25 – 0.75
अर्थात् यह – 1.25, – 1.50, – 1.75, – 2.00 है। उत्तर

(vii) a = 20, $d=\frac{-3}{4}$ को a, a + d, a + 2d, a + 3d, … में रखने पर हम अभीष्ट समान्तर श्रेढी प्राप्त करते हैं, जो निम्न है-

प्रश्न 3.
संख्याओं की निम्नलिखित सूचियों के लिए समान्तर श्रेढ़ी की जाँच कीजिए। यदि इनमें कोई समान्तर श्रेढ़ी है तो इसका सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए तथा इसके अगले चार पद भी लिखिए।

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ी Ex 5.1 5
हल:
(i) यहाँ

अर्थात् a_n+1 – a_n, n के सभी मानों के लिए समान है। अतः दी गई संख्याओं की सूची एक समान्तर श्रेढ़ी है और इसका सार्वअन्तर $d=\frac{1}{2}$ है।।
दिये गये अन्तिम पद के बाद, अगले चार पद होंगे-

(ii) यहाँ

अर्थात् a_n+1 – a_n, n के सभी मानों के लिए समान है। अतः दी गई संख्याओं की सूची एक समान्तर श्रेढ़ी है और इसका सार्वअन्तर d = 0 (शून्य) है।
दिये गये अन्तिम पद के बाद, अगले चार पद होंगे-
$\frac{-1}{2}, \frac{-1}{2}, \frac{-1}{2}$ और $\frac{-1}{2}$
अतः श्रेणी का सार्वअन्तर d = 0 तथा अगले चार पद $\frac{-1}{2}, \frac{-1}{2}, \frac{-1}{2}$ तथा $\frac{-1}{2}$ हैं। उत्तर 2

(iii) यहाँ a₂ – a₁ = a² – a = a(a – 1)
a₃ – a₂ = a³ – a² = a²(a – 1)
अर्थात् a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂
अतः दी गई संख्याओं की सूची एक समान्तर श्रेढ़ी नहीं बनाती है। उत्तर

(iv) यहाँ

अतः दी गई संख्याओं की सूची एक समान्तर श्रेढ़ी नहीं है। उत्तर

(v) यहाँ

अर्थात् a_n+1 – a_n, n के सभी मानों के लिए समान है। अतः दी गई संख्याओं की सूची एक समान्तर श्रेढ़ी है और इसका सार्वअन्तर $d=\sqrt{2}$ है।।
दिये गये अन्तिम पद के बाद, अगले चार पद होंगे-

अतः सार्वअन्तर $d=\sqrt{2}$ तथा श्रेणी के अगले चार पद $\sqrt{50}, \sqrt{72}, \sqrt{98}$ तथा $\sqrt{128}$ हैं। उत्तर

(vi) यहाँ a₂ – a₁ = 2a – a = a
a₃ – a₂ = 34 – 2a = a
और a₄ – a₃ = 4a – 3a = a
अर्थात् a_n+1 – a_n, n के सभी मानों के लिए समान है। अतः दी गई। संख्याओं की सूची एक समान्तर श्रेढ़ी है और इसका सार्वअन्तर d = a है।
दिये गये अन्तिम पद के बाद, अगले चार पद होंगे-
4a + a = 5a
5a + = 6a
6a + 2 = 7a
और 7a + a = 8a
अतः सार्वअन्तर d = a तथा श्रेणी के अगले चार पद 54, 64, 64 और 84 हैं। उत्तर

(vii) यहाँ a₂ – a₁ = 0.22 – 0.2 = 0.22 – 0.20
a₂ – a₁₂ = 0.02
और a₃ – a₂ = 0.222 – 0.22
= 0.222 – 0.220
= 0.002
∵ a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂
अतः दी गई सूची एक समान्तर श्रेढ़ी नहीं है। उत्तर

(viii) यहाँ

अर्थात् a_n+1 – a_n, n के सभी मानों के लिए समान है। अतः दी गई संख्याओं की सूची एक समान्तर श्रेढ़ी है और इसका सार्वअन्तर $d=\sqrt{2}$ है।
दिये गये अन्तिम पद के बाद, अगले चार पद होंगे-

अतः सार्वअन्तर $d=\sqrt{2}$ तथा श्रेणी के अगले चार पद $3+4 \sqrt{2}$ $3+5 \sqrt{2}, 3+6 \sqrt{2}$ तथा $3+7 \sqrt{2}$ हैं। उत्तर

समान्तर श्रेढ़ी Ex 5.1

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