वास्तविक संख्याएँ Ex 2.4

Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 2 वास्तविक संख्याएँ Ex 2.4

प्रश्न 1.
लम्बी विभाजन प्रक्रिया का उपयोग न करते हुए बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत हैं या असांत आवर्ती हैं—

हल:
(i) $\frac { 15 }{ 1600 }$
माना कि $x=\frac { 15 }{ 1600 }$ ……..(i)
अब (i) की तुलना $x=\frac { p }{ q }$ से करने पर यहाँ p = 15 तथा q= 1600
अतः q अर्थात् 1600 के अभाज्य गुणनखण्ड
= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5
= 26 × 52
जो कि 2ⁿ x 5^m के रूप का है। यहाँ m = 2 तथा n = 6 तथा ये ऋणेत्तर पूर्णांक हैं। अतः
$x=\frac { 15 }{ 1600 }$ का दशमलव प्रसार सांत है। उत्तर

(ii) $\frac { 13 }{ 3125 }$
माना कि $x=\frac { 13 }{ 3125 }$ ……..(i)
अब (i) की $x=\frac { p }{ q }$ से तुलना करने पर
यहाँ p = 13 तथा q= 3125
अब q अर्थात् 3125 के अभाज्य गुणनखण्ड = 5 × 5 × 5 × 5 × 5
= 5⁵ × 2⁰
जो कि 5^m × 2ⁿ के रूप का है। यहाँ m = 5 तथा n = 0 तथा ये ऋणेत्तर पूर्णांक हैं। अतः
$x=\frac { 13 }{ 3125 }$ का दशमलव प्रसार सांत है। उत्तर

(iii) $\frac { 23 }{ { 2 }^{ 3 }{ 5 }^{ 2 } }$
माना कि x= $x=\frac { 23 }{ { 2 }^{ 3 }{ 5 }^{ 2 } }$ ……….(i)
अब (i) की तुलना $x=\frac { p }{ q }$ से करने पर यहाँ p = 23 तथा q= 2³5²
अतः q अर्थात् 2³5² के अभाज्य गुणनखण्ड = 2³ × 5²
जो कि 2ⁿ × 5^m के रूप का है जहाँ n = 3 तथा m = 2 तथा ये ऋणेत्तर, पूर्णांक हैं। अतः
$x=\frac { 23 }{ { 2 }^{ 3 }{ 5 }^{ 2 } }$ का दशमलव प्रसार सांत है। उत्तर

(iv) $\frac { 17 }{ 6 }$
माना कि $x=\frac { 17 }{ 6 }$ ……..(i)
अब (i) की $x=\frac { p }{ q }$ से तुलना करने पर
यहाँ p = 17 तथा q = 6
अब q अर्थात् 6 के अभाज्य गुणनखण्ड = 2 × 3
= 2¹ × 3 ¹ × 5⁰
जो कि 2ⁿ × 5^m के रूप का नहीं है। (RBSESolutions.com)चूंकि हर में 2 और 5 के अतिरिक्त गुणनखण्ड 3 है।
अतः $x=\frac { 17 }{ 6 }$ का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।

(v) $\frac { 129 }{ { 2 }^{ 2 }\times { 5 }^{ 7 }\times { 7 }^{ 5 } }$
स्पष्ट है कि हर 2².5⁷.7⁵ के अभाज्य गुणनखण्ड 2 और 5 के अतिरिक्त भी हैं। इसलिए इस परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा।

(vi) $\frac { 35 }{ 50 }$
माना कि $x=\frac { 35 }{ 60 } =\frac { 7 }{ 10 }$ …..(i)
जो कि 5^m x 2ⁿ के रूप का है। यहाँ पर m = 1 तथा n = 1 तथा ये ऋणेत्तर पूर्णांक हैं।
अतः $x=\frac { 35 }{ 60 }$ का दशमलव प्रसार सांत है।

(vii) $\frac { 7 }{ 80 }$
माना कि $x=\frac { 7 }{ 80 }$ ……..(i)
अब (i) की तुलना $x=\frac { p }{ q }$ से करने पर यहाँ p= 7 तथा q= 80
अब q अर्थात् 80 के अभाज्य गुणनखण्ड = 2 × 2 × 2 × 2 × 5
= 2⁴ × 5¹
जो कि 2ⁿ × 5^m के रूप का है। यहाँ n = 4 तथा m = 1 तथा ये ऋणेत्तर पूर्णांक हैं अतः
$x=\frac { 7 }{ 80 }$ का दशमलव प्रसार सांत है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार लिखिए एवं बताइए कि ये सांत हैं—
RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 वास्तविक संख्याएँ Ex 2.4 2
हल:
(i) माना कि $x=\frac { 13 }{ 125 } =\frac { 13 }{ { 5 }^{ 3 }\times { 2 }^{ 0 } }$

अतः $\frac { 49 }{ 500 }$ का दशमलव प्रसार 0.098 है। उत्तर

प्रश्न 3.
नीचे दर्शाये दशमलव प्रसार के लिए निर्धारित कीजिए कि यह संख्या परिमेय संख्या है या नहीं। यदि यह परिमेय संख्या है, तो इसके हर के अभाज्य गुणनखण्डन के बारे में अपनी टिप्पणी लिखिए।
(i) 0.120120012000120000…
(ii) 43.123456789
(iii) $27.\overline { 142857 }$
हल:
(i) माना कि x = 0.1201200 12000120000…
दी गई संख्या से स्पष्ट है कि यह एक अपरिमेय संख्या है।
चूँकि इस संख्या को दशमलव प्रसार असांत एवं अनावर्ती है।
∴ इसको $\frac { p }{ q }$ के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।
∴ यह संख्या परिमेय नहीं है।

(ii) माना कि x = 43.123456789

जो कि $\frac { p }{ q }$ के रूप की एक परिमेय संख्या है।
जो कि 2ⁿ x 5^m के रूप का है। यहाँ m = 9 तथा n = 9 तथा ये ऋणेत्तर पूर्णांक हैं अंतः यह एक सांत दशमलव है।

(iii) माना कि

इस प्रकार, q = 99999 है।
$27.\overline { 142857 }$ एक असांत आवर्ती दशमलव है इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
अतः q के अभाज्य गुणनखण्ड 2 या 5 के अतिरिक्त एक और गुणनखण्ड होगा। अतः दी गई संख्या परिमेय है और q के अभाज्य गुणनखण्ड 2 या 5 के अतिरिक्त भी है। उत्तर

वास्तविक संख्याएँ Ex 2.4

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