Chapter 1 समुच्चय Ex 1.4

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से प्रत्येक समुच्चय युग्म का सम्मिलन ज्ञात कीजिए :
(i) X = {1, 3, 5}, Y = {1, 2, 3}
(ii) A = {a, e, i, 0, u}, B = {a, b, c}
(iii) A = {x : x एक प्राकृत संख्या है और 3 का गुणज है}
B = {x : x संख्या 6 से कम एक प्राकृत संख्या है?
(iv) A = {x : x एक प्राकृत संख्या है और 1 < x ≤ 6}
B = {x : x एक प्राकृत संख्या है और 6 < x < 10}
(v) A = {1, 2, 3}, B = ϕ
हल:
(i) X ∪ Y = {1, 3, 5} ∪ {1, 2, 3} = {1, 2, 3, 5}
(ii) A ∪ B = {a, e, i, 0, u}, {a, b, c}
= {a, b, c, e, i, o, u}
(iii) A ∪ B = {3, 6, 9….} ∪ {1, 2, 3, 4, 5}
= {1, 2, 4, 5 या संख्या 3 का गुणज}.
(iv) A = {2, 3, 4, 5, 6}, B = {7, 8, 9}
∴ A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} अर्थात् {x : 1 < x < 10, x ϵ N}
(v) A ∪ B = {1, 2, 3} ∪ ϕ = {1, 2, 3}

प्रश्न 2.
मान लीजिए कि A = {a, b}, B = {a, b, c}. क्या A ⊂ B? A ∪ B ज्ञात कीजिए।
हल:
A = {a, b}, B = {a, b, c}
समुच्चय A के अवयव a, b समुच्चय B में भी है
∴ A ⊂ B = A ∪ B = B
और A ∪ B = {a, b} ∪ {a, b, c} = {a, b, c}

प्रश्न 3.
यदि A और B दो ऐसे समुच्चय हैं कि A ⊂ B, तो A ∪ B क्या है?
हल:
A ⊂ B ⇒ समुच्चय A के सभी अवयव समुच्चय B में हैं।
A ∪ B = B.

प्रश्न 4.
यदि A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {5, 6, 7, 8} और D = {7, 8, 9, 10}, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए :
(i) A ∪ B
(ii) A ∪ C
(iii) B ∪ C
(iv) B ∪ D
(v) A ∪ B ∪ C
(vi) A ∪ B ∪ D
(vii) B ∪ C ∪ D
हल:
(i) A ∪ B = {1, 2, 3, 4} ∪ {3, 4, 5, 6}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
(ii) A ∪ C= {1, 2, 3, 4} ∪ {5, 6, 7, 8}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8}.
(iii) B ∪ C = {3, 4, 5, 6} ∪ {5, 6, 7, 8}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8}.
(iv) B ∪ D = {3, 4, 5, 6} ∪ {7, 8, 9, 10}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
(v) A ∪ B ∪ C = ({1, 2, 3, 4, 10} ∪ {3, 4, 5, 6}) ∪ {5, 6, 7, 8}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ {5, 6, 7, 8}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
(vi) A ∪ B ∪ D = ({1, 2, 3, 4} ∪ {3, 4, 5, 6}) ∪ {7, 8, 9, 10}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ {7, 8, 9, 10}
= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
(vii) B ∪ C ∪ D = ({3, 4, 5, 6} ∪ {5, 6, 7, 8}) ∪ {7, 8, 9, 10}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8} ∪ {7, 8, 9, 10}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

प्रश्न 5.
प्रश्न 1 में दिए प्रत्येक समुच्चय युग्म का सर्वनिष्ठ समुच्चय ज्ञात कीजिए :
हल:
(i) X ∩ Y = {1, 3, 5} ∩ {1, 2, 3} = {1, 3}.
(ii) A ∩ B = {a, e, i, o, u} ∩ {a, b, c} = {a}.
(iii) A ∩ B = {3, 6, 9 …..} ∩ {1, 2, 3, 4, 5} = {3}.
(iv) A ∩ B = {2, 3, 4, 5, 6} ∩ {7, 8, 9} = ϕ.
(v) A ∩ B = {1, 2, 3} ∩ ϕ = ϕ

प्रश्न 6.
यदि A = {3, 5, 7, 9, 11}, B = {7, 9, 11, 13}, C = {11, 13, 15} और D = {15, 17}; तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए :
(i) A ∩ B
(ii) B ∩ C
(iii) A ∩ C ∩ D
(iv) A ∩ C
(v) B ∩ D
(vi) A∩ (B ∩ C)
(vii) A ∩ D
(viii) A ∩ (B ∪ D)
(ix) (A ∩ B) ∩ (B ∪ C)
(x) (A ∪ D) ∩ (B ∪ C)
हल:
(i) A ∩ B = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13} = {7, 9, 11}.
(ii) B ∩ C = {7, 9, 11, 13} ∩ {11, 13, 15} = {11, 13}.
(iii) A ∩ C ∩ D = ({3, 5, 7, 9, 11} ∩ {11, 13, 15}) ∩ {15, 17} .
= {11} ∩ {15, 17} = ϕ.
(iv) A ∩ C = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {11, 13, 15} = {11}.
(v) B ∩ D = {7, 9, 11, 13} ∩ {15, 17} = ϕ.
(vi) A ∩ (B ∪ C) = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ ({7, 9, 11, 13} ! {11, 13, 15})
= {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13, 15}
= {7, 9, 11}.
(vii) A ∩ D = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {15, 17} = ϕ.
(viii) A ∩ (B ∪ D) = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ ({7, 9, 11, 13} ∪ {15, 17})
= {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13, 15, 17}
= {7, 9, 11}.
(ix) A ∩ B = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13}
= {7, 9, 11}
B ∪ C = {7, 9, 11, 13} ∪ {11, 13, 15}
= {7, 9, 11, 13, 15}.
(A ∩ B) (B ∪ C) = {7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13. 15}
= {7, 9, 11}.
(x) A ∪ D = {3, 5, 7, 9, 11} ∪ {15, 17}
= {3, 5, 7, 9, 11, 15, 17}
B ∪ C = {7, 9, 11, 13} ∪ {11, 13, 15}
= {7, 9, 11, 13, 15}
(A ∪ D) ∩ (B ∪ C) = {3, 5, 7, 9, 11, 15, 17} ∩ {7, 9, 11, 13, 15}
= {7, 9, 11, 15}.

प्रश्न 7.
यदि A = {x : x एक प्राकृत संख्या है, B = {x : x एक सम प्राकृत संख्या है, C = {x : x एक विषम प्राकृत संख्या है}, D = {x : x एक अभाज्य संख्या है, तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए:
(i) A ∩ B
(ii) A ∩ C
(iii) A ∩ D
(iv) B ∩ C
(vi) C ∩ D
हल:
A = {x : x एक प्राकृत संख्या है} = {1, 2, 3, 4……}
B = {x : x एक सम प्राकृत संख्या है} = {2, 4, 6, 8…}
C = {x : x एक विषम प्राकृत संख्या है? = {1, 3, 5, 7….}
D = {x : x एक अभाज्य संख्या है} = {2, 3, 5, 7, 11….}
(i) A ∩ B = {1, 2, 3, 4….} ∩ {2, 4, 6, 8….}
= {2, 4, 6, 8….} = B
(ii) A ∩ C = {1, 2, 3, 4……} ∩ {1, 3, 5, 7….}
= {1, 3, 5, 7….} = C
(iii) A ∩ D = {1, 2, 3, 4…} ∩ {2, 3, 5, 7…..}
= {2, 3, 5, 7……} = D
(iv) B ∩ C = {2, 4, 6, 8…} ∩ {1, 3, 5, 7……} = ϕ
(v) B ∩ D = {2, 4, 6, 8…..} ∩ {2, 3, 5, 7…..} = {ϕ}
(vi) C ∩ D = {1, 3, 5, 7…..} ∩ {2, 3, 5, 7, 11…….}
= {3, 5, 7, 11, 13….}
= {x : x एक विषम अभाज्य संख्या}.

प्रश्न 8.
निम्नलिखित समुच्चय युग्मों में से कौन से युग्म असंयुक्त हैं?
(i) {1, 2, 3, 4} तथा {x : x एक प्राकृत संख्या है और 4 ≤ x ≤ 6}
(ii) {a, e, i, o, u} तथा {c, d, e, f}
(iii) {x : x एक सम पूर्णांक है, और {x : x एक विषम पूर्णांक है}
हल:
(i) मान लीजिए E = {1, 2, 3, 4}
F = {x : x एक प्राकृत संख्या और 4 ≤ x ≤ 6}
= {4, 5, 6}
अवयव 4, E और F दोनों समुच्चयों में है।
अतः दोनों युग्म असंयुक्त नहीं हैं।
(ii) दिये हुए समुच्चयों में अवयव e उभयनिष्ठ है।
अतः यह असंयुक्त समुच्चय नहीं है।
(ii) मान लीजिए A = {x : x एक सम पूर्णांक हैं} = {….- 4, – 2, 0, 2, 4….}
B = {x : x एक विषम पूर्णांक है} = {….-5, – 3, – 1, 1, 3, 5…..}
A और B समुच्चयों में कोई भी अवयव उभयनिष्ठ नहीं है।
अतः यह समुच्चय असंयुक्त है।

प्रश्न 9.
यदि A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}, B = {4, 8, 12, 16, 20}, C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}, D = {5, 10, 15, 20}, तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए :
(i) A – B
(ii)A – C
(iii) A – D
(iv) B – A
(v) C – A
(vi) D – A
(vii) B – C
(viii) B – D
(ix) C – B
(x) D – B
(xi) C – D
(xii) D – C
हल:
(i) A – B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} – {4, 8, 12, 16, 20}
{3, 6, 9, 15, 18, 21}.
(ii) A – C = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
= {3, 9, 15, 18. 21}.
(iii) A – D = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} – {5, 10, 15, 20}
= {3, 6, 9, 12, 18, 21}.
(iv) B- A = {4, 8, 12, 16, 20} – {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}
= {4, 8, 16, 20}.
(v) C – A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} – {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}
= {2, 4, 8, 10, 14, 16}.
(vi) D – A = {5, 10, 15, 20} – {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}.
= {5, 10, 20}.
(vii) B – C = {4, 8, 12, 16, 20} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
= {20}.
(viii) B – D = {4, 8, 12, 16, 20} – {5, 10, 15, 20}
= {4, 8, 12, 16}.
(ix) C – B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} – {4, 8, 12, 16, 20}
= {2, 6, 10, 14}.
(x) D – B = {5, 10, 15, 20} – {4, 8, 12, 16, 20}
= {5, 10, 15}.
(xi) C -D = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} – {5, 10, 15, 20}
= {2, 4, 6, 8, 12, 14, 16}.
(xii) D – C = {5, 10, 15, 20} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
= {55 15 20}.

प्रश्न 10.
यदि x = {a, b, c, d} और Y = {f, b, d, g} तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए :
(i) X – Y
(ii) Y – X
(iii) X ∩ Y
हल:
(i) X – Y= {a, b, c, d} – {f, b, d, g}
= {a, c}.
(ii) Y – X= {f, b, d, g} – {a, b, c, d}
= {f, g}.
(iii) X ∩ Y= {a, b, c, d} ∩ {f, b, d, g}
= {b, d}.

प्रश्न 11.
यदि R वास्तविक संख्याओं और Q परिमेय संख्याओं के समुच्चय हैं, तो R – Q क्या होगा?
हल:
R= {x : x एक वास्तविक संख्या है?
Q= {x : x एक परिमेय संख्या है?
R – Q = {x : x एक अपरिमेय संख्या है}
अत: यह अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय है।

प्रश्न 12.
बताइए कि निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक सत्य है या असत्य? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
(i) {2, 3, 4, 5} तथा {3, 6} असंयुक्त समुच्चय हैं
(ii) {a, e, i, o, u} तथा {a, b, c, d} असंयुक्त समुच्चय हैं।
(iii) {2, 6, 10, 14} तथा {3, 7, 11, 15} असंयुक्त समुच्चय हैं।
(iv) {2, 6, 10} तथा {3, 7, 11} असंयुक्त समुच्चय हैं।
हल:
(i) यह कथन सत्य नहीं है क्योंकि समुच्चय {2, 3, 4, 5} और {3, 6} में अवयव 3 उभयनिष्ठ है।
(ii) यह कथन सत्य नहीं है क्योंकि समुच्चय {a, e, i, o, u} और {a, b, c, d} में अवयव a उभयनिष्ठ है।
(iii) यह कथन सत्य है क्योंकि समुच्चय {2, 6, 10, 14} और {3, 7, 11, 15} में कोई अवयव उभयनिष्ठ नहीं है। अतः यह समुच्चय असंयुक्त है।
(iv) यह कथन सत्य है क्योंकि समुच्चय {2, 6, 10} और {3, 7, 11} में कोई अवयव उभयनिष्ठ नहीं है। अतः यह समुच्चय असंयुक्त है।

Chapter 1 समुच्चय Ex 1.4