Chapter 10 क्षेत्रमिति Ex 10.3
पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 237
प्रश्न 1.
उन आयतों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिनकी भुजाएँ नीचे दी गई हैं
(a) 3 सेमी और 4 सेमी
(b) 12 मी और 21 मी
(c) 2 किमी और 3 किमी
(d) 2 मी और 70 सेमी
हल :
(a) ∵ आयत की लम्बाई = 4 सेमी,
आयत की चौड़ाई = 3 सेमी
∴ आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 4 सेमी x 3 सेमी
= 12 वर्ग सेमी
(b) ∵आयत की लम्बाई = 21 मी,
आयत की चौड़ाई = 12 मी
∴आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 21 मी x 12 मी
= 252 वर्ग मी
(c)∵आयत की लम्बाई = 3 किमी,
आयत की चौड़ाई = 2 किमी
∴आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 3 किमी x 2 किमी
= 6 वर्ग किमी
(d)∵आयत की लम्बाई = 2 मी,
आयत की चौड़ाई = 70 सेमी = 0.70 मी
∴आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 2 मी x 0.70 मी
= 1.40 वर्ग मी
प्रश्न 2.
उन वर्गों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिनकी भुजाएँ निम्नलिखित हैं
(a) 10 सेमी
(b) 14 सेमी
(c) 5 मी
हल :
(a) ∵ वर्ग की भुजा = 10 सेमी
∴ वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा – भुजा
= 10 सेमी x 10 सेमी
= 100 वर्ग सेमी
(b)∵ वर्ग की भुजा = 14 सेमी
∴वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा – भुजा
= 14 सेमी x 14 सेमी
= 196 वर्ग सेमी
(c)∵वर्ग की भुजा = 5 मी
∴वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा x भुजा = 5 मी x 5 मी
= 25 वर्ग मीटर
प्रश्न 3.
तीन आयतों की विमाएँ निम्नलिखित हैं
(a) 9 मी और 6 मी
(b) 3 मी और 17 मी
(c) 4 मी और 14 मी।
इनमें किसका क्षेत्रफल सबसे अधिक है किसका सबसे कम ?
हल :
(a) आयत की लम्बाई = 9 मी और चौड़ाई = 6 मी
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई = 9 मी x 6 मी
= 54 वर्ग मीटर
(b) आयत की लम्बाई = 17 मी और चौड़ाई = 3 मी
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई = 17 मी x 3 मी
= 51 वर्ग मीटर
(c) आयत की लम्बाई = 14 मी और चौड़ाई = 4 मी
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई = 14 मी x 4 मी
= 56 वर्ग मीटर
∵56 > 54 > 51
∴आयत (c) का क्षेत्रफल सबसे अधिक और आयत (b) का क्षेत्रफल सबसे कम है।
प्रश्न 4.
50 मी लम्बाई वाले एक आयताकार बगीचे का क्षेत्रफल 300 वर्ग मीटर है। बगीचे की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल :
आयताकार बगीचे का क्षेत्रफल = 300 वर्ग मीटर
आयतकार बगीचे की लम्बाई = 50 मीटर
= 6 मी
प्रश्न 5.
500 मी लम्बाई तथा 200 मी चौड़ाई वाले एक आयताकार भूखण्ड पर Rs 8 प्रति 100 वर्ग मीटर की दर से टाइल लगाने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल :
∵ आयताकार भूखण्ड की लम्बाई = 500 मी
भूखण्ड की चौड़ाई = 200 मी
∴भूखण्ड का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 500 मी x 200 मी
= 100,000 वर्ग मीटर
100 वर्ग मीटर के लिए टाइल लगाने का व्यय = Rs 8
= Rs 8000
प्रश्न 6.
एक मेज के ऊपरी पृष्ठ की माप 2 मी x 1 मी 50 सेमी है। मेज का क्षेत्रफल वर्ग मीटर में ज्ञात कीजिए।
हल :
मेज के पृष्ठ की लम्बाई = 2 मी.
मेज के पृष्ठ की चौड़ाई = 1 मी 50 सेमी = 1.50 मी
∴मेज के पृष्ठ का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 2 मी x 1.50 मी
= 3.00 वर्ग मी
प्रश्न 7.
एक कमरे की लम्बाई 4 मी तथा चौड़ाई 3 मी 50 सेमी है। कमरे के फर्श को ढकने के लिए कितने वर्ग मीटर गलीचे की आवश्यकता होगी?
हल :
कमरे की लम्बाई = 4 मी
कमरे की चौड़ाई = 3 मी 50 सेमी = 3.50 मी
∴कमरे के फर्श का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 4 मी x 3.50 मी
= 14.00 वर्ग मी
अतः कमरे के फर्श को ढकने के लिए 14.00 वर्ग मीटर गलीचे की आवश्यकता होगी।
प्रश्न 8.
एक फर्श की लम्बाई 5 मी और चौड़ाई 4 मी है। 3 मी भुजा वाले एक वर्गाकार गलीचे को फर्श पर बिछाया गया है। फर्श के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिस पर गलीचा नहीं बिछा है। हल :
फर्श का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 5 मी x 4 मी
= 20 वर्गमी
वर्गाकार गलीचे का क्षेत्रफल = भुजा x भुजा
= 3 मी x 3 मी
= 9 वर्ग मीटर
उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ गलीचा नहीं बिछा है
= फर्श का क्षेत्रफल – गलीचे का क्षेत्रफल
= 20 वर्ग मी – 9 वर्ग मी
= 11 वर्ग मी
अत: उस भाग का क्षेत्रफल जिस पर गलीचा नहीं बिछा है = 11 वर्ग मी
प्रश्न 9.
5 मी. लम्बाई तथा 4 मी चौड़ाई वाले एक आयताकार भूखण्ड पर 1 मी भुजा वाली वर्गाकार फूलों की 5 क्यारियाँ बनाई जाती हैं। भूखण्ड के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
∵भूखण्ड की लम्बाई = 5 मी
भूखण्ड की चौड़ाई = 4 मी
∴भूखण्ड का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 5 मी x 4 मी
= 20 वर्ग मी
वर्गाकार क्यारी का क्षेत्रफल = भुजा x भुजा
= 1 मी x 1 मी
= 1 वर्ग मी
∴ वर्गाकार 5 फूलों की क्यारियों का क्षेत्रफल
= 5 x 1 वर्ग मी
= 5 वर्ग मी
∴ भूखण्ड के शेष भाग का क्षेत्रफल
= भूखण्ड का क्षेत्रफल – क्यारियों का क्षेत्रफल
= 20 वर्ग मी – 5 वर्ग मी
= 15 वर्ग मी
प्रश्न 10.
पाठ्य-पुस्तक में दी गई आकृतियों को आयतों में तोड़िए। इनका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (भुजाओं की माप सेमी में दी गई है।)
हल :
(a) आयत (1) का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 4 सेमी x 2 सेमी
= 8 वर्ग सेमी
वर्ग (2) का क्षेत्रफल = भुजा – भुजा
= 3 सेमी x 3 सेमी
= 9 वर्ग सेमी
आयत (3) का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 2 सेमी x 1 सेमी
= 2 वर्ग सेमी
वर्ग (4) का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 3 सेमी x 3 सेमी
= 9 वर्ग सेमी
अतः आकृति का कुल क्षेत्रफल = 8 वर्ग सेमी +9 वर्ग सेमी + 2 वर्ग सेमी + 9 वर्ग सेमी
= 28 वर्ग सेमी
(b) आयत (1) का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 3 सेमी x 1 सेमी
= 3 वर्ग सेमी
आयत (2) का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 3 सेमी x 1 सेमी
= 3 वर्ग सेमी
आयत (3) का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 3 सेमी x 1 सेमी
= 3 वर्ग सेमी
∴आकृति का कुल क्षेत्रफल
= 3 वर्ग सेमी + 3 वर्ग सेमी + 3 वर्ग सेमी
= 9 वर्ग सेमी
प्रश्न 11.
पाठ्य-पुस्तक में दी गई आकृतियों को आयतों में तोड़िए और प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (भुजाओं की माप सेमी में दी गई है।)
हल :
(a) आयत (1) का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 10 सेमी x 2 सेमी
= 20 वर्ग सेमी
आयत (2) का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 10 सेमी x 2 सेमी
= 20 वर्ग सेमी
∴दी हुई आकृति का कुल क्षेत्रफल = 20 वर्ग सेमी + 20 वर्ग सेमी = 40 वर्ग सेमी
(b) वर्ग (1) का क्षेत्रफल = भुजा x भुजा
= 7 सेमी x 7 सेमी
= 49 वर्ग सेमी
आयत (2) का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 21 सेमी x 7 सेमी
= 147 वर्ग सेमी
वर्ग (3) का क्षेत्रफल = भुजा – भुजा
= 7 सेमी x 7 सेमी
= 49 वर्ग सेमी
∴ दी हुई आकृति का कुल क्षेत्रफल
= 49 वर्ग सेमी + 147 वर्ग सेमी + 49 वर्ग सेमी
= 245 वर्ग सेमी
(c) आयत (1) का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 5 सेमी x 1 सेमी = 5 वर्ग सेमी
आयत (2) का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 4 सेमी x 1 सेमी = 4 वर्ग सेमी
∴ दी हुई आकृति का कुल क्षेत्रफल
= 5 वर्ग सेमी + 4 वर्ग सेमी 1
= 9 वर्ग सेमी
प्रश्न 12.
एक टाइल की माप 5 सेमी x 12 सेमी है। एक क्षेत्र को पूर्णतया ढकने के लिए, ऐसी कितनी टाइलों की आवश्यकता होगी, जिसकी लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः
(a) 144 सेमी और 100 सेमी है।
(b) 70 सेमी और 36 सेमी है।
हल :
आयताकार टाइल का क्षेत्रफल
= लम्बाई x चौड़ाई
= 12 सेमी x 5 सेमी
= 60 वर्ग सेमी
(a) ∵ आयताकार क्षेत्र का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 144 सेमी x 100 सेमी
= 14400 वर्ग सेमी
(b) ∵ आयताकार क्षेत्र का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 70 सेमी x 36 सेमी
= 2520 वर्ग सेमी
एक चुनौती
प्रश्न 1.
(i) एक सेण्टीमीटर वर्गांकित पेपर पर आप जितने भी आयत बना सकते हैं, बनाइए, जिससे कि आयत का क्षेत्रफल 16 वर्ग सेण्टीमीटर हो जाए। (केवल पूर्ण संख्या की लम्बाई पर ही विचार करना है।)
(a) किस आयत का परिमाप सबसे अधिक है ?
(b) किस आयत का परिमाप सबसे कम है ?
(ii) यदि आप एक ऐसा आयत लें जिसका क्षेत्रफल 24 वर्ग सेमी हो, तो आपके उत्तर क्या होंगे? दिये हुए क्षेत्रफल के लिए, क्या अधिकतम परिमाप के आकार को बताना सम्भव है ? क्या सबसे कम परिमाप के आयत के बारे में बता सकते हैं ? उदाहरण दीजिए और कारण बताइए।
हल :
(i) वर्गांकित पेपर पर निम्न आयत बनाए जा सकते हैं। इनमें प्रत्येक का क्षेत्रफल 16 सेमी है।
(1) 16 सेमी x 1 सेमी
(2) 8 सेमी x 2 सेमी
(3) 4 सेमी x 4 सेमी
(1) का परिमाप = 2 x (16 + 1) सेमी
= 2 x 17 सेमी
= 34 सेमी
(2) का परिमाप = 2 x (8 + 2) सेमी
= 2 x 10 सेमी
= 20 सेमी
(3) का परिमाप = 2 x (4 + 4) सेमी
= 2 x 8 सेमी
= 16 सेमी
(i) (a) आयत (1) का परिमाप सबसे अधिक (34 सेमी) है।
(b) आयत (3) का परिमाप सबसे कम (16 सेमी) है।
(ii) जबकि आयत का क्षेत्रफल 24 वर्ग सेमी है
यहाँ निम्न विमाओं के 4 आयत होंगे
(a) 24 सेमी x 1 सेमी
(b) 12 सेमी x 2 सेमी
(c) 8 सेमी 3 सेमी
(d) 6 सेमी x 4 सेमी
आयत (a) का परिमाप = 2 x (24 + 1) सेमी
= 2 x 25 सेमी
= 50 सेमी
आयत (b) का परिमाप = 2 x (12 + 2) सेमी
= 2 x 14 सेमी
= 28 सेमी
आयत (c) का परिमाप = 2 x (8 + 3) सेमी
= 2 x 11 सेमी
= 22 सेमी
आयत (d) का परिमाप = 2 x (6 + 4) सेमी
= 2 x 10 सेमी
= 20 सेमी
यहाँ आयत (a) का परिमाप जिसकी विमाएँ 24 सेमी x 1 सेमी हैं, सबसे अधिक है।
आयत (d) का परिमाप जिसकी विमाएँ 6 सेमी x 4 सेमी हैं, सबसे कम है।
हाँ, दिए हुए क्षेत्रफल से सबसे बड़े परिमाप वाले और सबसे छोटे परिमाप वाले आयत का आकार बता सकते हैं।
उदाहरण – माना कि आयत का क्षेत्रफल 36 वर्ग सेमी है। इससे बनने वाले आयतों की विमाएँ निम्न हैं
(i) 36 सेमी x 1 सेमी
(ii) 18 सेमी x 2 सेमी
(iii) 12 सेमी x 3 सेमी
(iv) 9 सेमी x 4 सेमी
(v) 6 सेमी x 6 सेमी
इनके परिमाप क्रमशः
(i) 74 सेमी
(ii) 40 सेमी,
(iii) 30 सेमी
(iv) 26 सेमी हैं
(v) 24 सेमी हैं।
कारण – इससे स्पष्ट है कि जिस आयत की लम्बाई अधिक है उसका परिमाप अधिक है और जिस आयत की लम्बाई कम है उसका परिमाप भी सबसे कम है।