Chapter 12 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय विविध प्रश्नावली
प्रश्न 1.
समांतर चतुर्भुज के तीन शीर्ष A(3, – 1, 2), B(1, 2, – 4) व C(- 1, 1, 2) हैं। चौथे शीर्ष D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
शीर्ष A और C क्रमशः (3, – 1, 2), (- 1, 1, 2) हैं।
अतः बिन्दु D के निर्देशांक (1, – 2, 8) हैं।
प्रश्न 2.
एक त्रिभुज ABC के शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः 4(0, 0, 6), B(0, 4, 0) तथा C(6, 0, 0) हैं। त्रिभुज की माध्यिकाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल:
बिन्दु B(0, 4, 0) और C(6, 0, 0) को मिलाने वाला रेखाखण्ड का मध्य बिन्दु
∴ बिन्दु A के निर्देशांक (0, 0, 6) हैं।
प्रश्न 3.
यदि त्रिभुज PQR का केन्द्रक मूल बिन्दु है और शीर्ष P(2a, 2, 6), Q(- 4, 3b, – 10) और R(8, 14, 2c) हैं तो a, b और c का मान ज्ञात कीजिए :
हल:
दिया है: त्रिभुज PQR के शीर्ष P(2a, 2, 6), Q(- 4, 3b, – 10), R(8, 14, 2c)
प्रश्न 4.
y-अक्ष पर उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जिसकी बिन्दु P(3, – 2, 5) से दूरी 5√2 है।
हल:
y-अक्ष पर किसी बिन्दु के निर्देशांक A(0, y1, 0) है। A से P(3, – 2, 5) के बीच की दूरी = 5√2
∴ AP2 = (3 – 0)2 + (- 2 – y1) + (5 – 0)2
∴ = 9 + (- 2 – y1) + 25
= (y1 + 2)2 + 34
∴ (y1 + 2)2 + 34 = 50
∴ (y1 + 2)2 = 50 – 34 = 16
y1 + 2 = ± 4
+ ve चिन्ह लेने पर, y1 = 4 – 2 = 2
– ve चिन्ह लेने पर, y1 = – 4 – 2 = – 6
∴ y-अक्ष पर अभीष्ट बिन्दु (0, 2, 0) और (0, – 6, 0) है।
प्रश्न 5.
P(2, – 3, 4) और Q(8, 0, 10) को मिलाने वाली रेखाखण्ड पर स्थित एक बिन्दु R का x-निर्देशांक 4 है। बिन्दु R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बिन्दु R, PQ को k : 1 में विभाजित करता है जबकि P और Q के निर्देशांक P(2, – 3, 4) और ए(8, 0, 10) हैं।
परन्तु x- निर्देशांक 4 के समान है।
अतः R के निर्देशांक (4, – 2, 6) हैं।
प्रश्न 6.
यदि बिन्दु A और B क्रमशः (3, 4, 5) तथा (- 1, 3, – 7) हैं। चर बिन्दु P द्वारा निर्मित समुच्चय से संबंधित समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ PA2 + PB2 = k2 जब कि k अचर है।
हल:
माना बिन्दु P के निर्देशांक (x, y, z) हैं।
बिन्दु A(3, 4, 5) है।
PA2 = (x – 3)2 + (y – 4)2 + (z – 5)2
बिन्दु B(- 1, 3, 7) है।
∴ PB2 = (x + 1)2 + (y – 3)2 + (z + 7)2
दिया है, PA2 + PB2 = k2
∴ [(x – 3)2 + (y – 4)2 + (z – 5)2] + [(x + 1)2 + (y – 3)2 + (z + 7)2] = k2
या (x2 + y2 + z2 – 6x – 8y – 10z + 9+ 16 + 25) + (x2 + y2 + z2 + 2x – 6y + 14z + 1 + 9 + 49)
∴ 2(x2 + y2 + z2) – 4x – 14y + 4z + 50 + 59 – k2 = 0
या 2(x2 + y2 + z2) – 4x – 14y + 4z + 109 – k2 = 0 .
