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Chapter 14 गणितीय विवेचन विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
निम्नलिखित कथनों के निषेधन लिखिए :
(i) प्रत्येक धन वास्तविक संख्या x के लिए, संख्या x – 1 भी धन संख्या है।
हल:
एक ऐसी धन वास्तविक संख्या x का अस्तित्व है कि x – 1 धन संख्या नहीं है।

(ii) सभी बिल्लियाँ खरोंचती हैं।
हल:
सभी बिल्लियाँ खरोंचती नहीं हैं।

(iii) प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए या तो x > 1 या x < 1.
हल:
एक ऐसी वास्तविक संख्या x का अस्तित्व है कि न तो x > 1 और न ही x < 1.

(iv) एक ऐसी संख्या x का अस्तित्व है कि 0 < x < 1.
हल:
किसी ऐसी वास्तविक संख्या x का अस्तित्व नहीं है कि 0 < x < 1.

प्रश्न 2.
निम्नलिखित सप्रतिबंध कथनों (अंतर्भाव) में से प्रत्येक का विलोम तथा प्रतिधनात्मक कथन लिखिए :
(i) एक धन पूर्णांक अभाज्य संख्या है केवल यदि 1 और पूर्णांक स्वयं के अतिरिक्त उसका कोई अन्य भाजक नहीं है।
हल:
विलोम कथन : यदि एक धन पूर्णांक अभाज्य है, तो 1 तथा स्वयं के अतिरिक्त इसका कोई अन्य भाजक नहीं है।
प्रतिधनात्मक कथन : यदि एक धन पूर्णांक के 1 तथा स्वयं के अतिरिक्त अन्य भाजक भी हैं, तो वह धन पूर्णांक अभाज्य संख्या नहीं है।

(ii) मैं समुद्र तट पर जाता हूँ जब कभी धूप वाला दिन होता है।
हल:
विलोम कथन : यदि कभी धूप वाला दिन हो तो मैं समुद्र तट पर जाता हूँ।
प्रतिधनात्मक कथन : जब कभी धूप वाला दिन नहीं होता तो मैं समुद्र तट पर नहीं जाता।

(iii) यदि बाहर गर्म है, तो आपको प्यास लगती है।
हल:
विलोम कथन : यदि आपको प्यास लगी है, तो बाहर गर्म है।
प्रतिधनात्मक कथन : यदि आपको प्यास नहीं लगती है तो बाहर गर्म नहीं है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक को “यदि p तो q” के रूप में लिखिए।
(i) सर्वर पर लॉग आन करने के लिए पासवर्ड का होना आवश्यक है।
(ii) जब कभी वर्षा होती है यातायात में अवरोध उत्पन्न होता है।
(iii) आप वेबसाइट में प्रवेश कर सकते हैं केवल यदि आपने निर्धारित शुल्क का भुगतान किया हो।
हल:
‘यदि p तो q’ के रूप में कथन
(i) यदि सर्वर पर लॉग आन है, तो पासवर्ड ज्ञात है।
(ii) यदि वर्षा होती है, तो यातायात में अवरोध उत्पन्न होता है।
(iii) यदि आप निर्धारित शुल्क का भुगतान करते हैं, तो आप बेवसाइट में प्रवेश कर सकते हैं।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक को ‘p यदि और केवल यदि q’ के रूप में पुनः लिखिए:
(i) यदि आप दूरदर्शन (टेलीविजन) देखते हैं, तो आपका मन मुक्त होता है तथा यदि आपका मन मुक्त है तो आप दूरदर्शन देखते हैं।
(ii) आपके द्वारा A ग्रेड प्राप्त करने के लिए यह अनिवार्य और पर्याप्त है कि आप गृहकार्य नियमित रूप से करते हैं।
(iii) यदि एक चतुर्भुज समान कोणिक है, तो वह एक आयत होता है तथा यदि एक चतुर्भुज आयत है, तो वह समान कोणिक होता है।
हल:
“p यदि और केवल यदि q” के रूप में कथन
(i) आप टेलीविज़न देखते हैं यदि और केवल यदि आपका मन मुक्त होता है।
(ii) आप A ग्रेड प्राप्त करते हैं यदि और केवल यदि आप नियमित रूप से समस्त गृहकार्य करते हैं।
(iii) एक चतुर्भुज समान कोणिक है यदि और केवल यदि वह एक आयत है।

प्रश्न 5.
नीचे दो कथन दिए हैं,
p : 25 संख्या 5 का एक गुणज है।
q : 25 संख्या 8 का एक गुणज है।
उपरोक्त कथनों का संयोजक ‘और’ तथा ‘या’ द्वारा संयोजन करके मिश्र कथन लिखिए। दोनों दशाओं में प्राप्त मिश्र कथनों की वैधता जाँचिए।
हल:
(i) ‘और’ संयोजन द्वारा मिश्र कथन :
25 संख्या 5 और 8 का गुणज है।
यह असत्य कथन है क्योंकि p और दोनों सत्य नहीं हैं।

(ii) संयोजक ‘या’ द्वारा मिश्र कथन :
25 संख्या 5 या 8 का गुणज है।
यह कथन सत्य है।

प्रश्न 6.
नीचे लिखे कथनों की वैधता की जाँच उनके सामने लिखित विधि द्वारा कीजिए।
(i) p : एक अपरिमेय संख्या और एक परिमेय संख्या का योगफल अपरिमेय होता है। (विरोधोक्ति विधि)
(ii) q : यदि n एक ऐसी वास्तविक संख्या है कि n > 3 तो n2 > 9 (विरोधोक्ति विधि)
हल:

(ii) माना n2 > 9 नहीं है जबकि n > 3
n = 3 + a रखने पर
n = a + 3
n2 = (a + 3)2 = a2 + 6a + 9 = 9 + (a2 + 6a)
∴ n2 > 9
पूर्वनिर्धारित कथन और यह कथन विरोधात्मक है।
अतः जब x > 3 तो x2 > 9

प्रश्न 7.
निम्नलिखित कथन को पाँच भिन्न-भिन्न तरीकों से इस प्रकार व्यक्त कीजिए कि उनके अर्थ समान हों।
q : यदि एक त्रिभुज समान कोणिक है तो वह एक अधिक कोण त्रिभुज है।
हल:
पाँच समान अर्थ वाले कथन :
(i) कथन “एक त्रिभुज समान कोणिक है” का अंतर्भाव है कि यह अधिक कोण त्रिभुज है।
(ii) एक त्रिभुज के अधिक कोण त्रिभुज होने के लिए यह पर्याप्त है कि यह समान कोणिक है।
(iii) एक त्रिभुज समान कोणिक है यदि और केवल यदि त्रिभुज अधिक कोण त्रिभुज है।
(iv) एक त्रिभुज को समान कोणिक होने के लिए यह अनिवार्य है कि त्रिभुज अधिक कोण त्रिभुज है।
(v) यदि एक त्रिभुज अधिक कोण त्रिभुज नहीं है तो वह समान कोणिक है।

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