Chapter 14 गणितीय विवेचन Ex 14.5

Chapter 14 गणितीय विवेचन Ex 14.5

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि कथन यदि x एक ऐसी वास्तविक संख्या है कि x + 4x = 0, तो x = 0
(i) प्रत्यक्ष विधि द्वारा
(ii) विरोधोक्ति द्वारा
(iii) प्रतिधनात्मक कथन द्वारा
हल:
(i) प्रत्यक्ष विधि द्वारा
x³ + 4x = 0 या x(x² + 4)= 0
∴ x = 0 या x² + 4= 0
परन्तु x² + 4 ≠ 0, x ϵ R
अतः x = 0.

(ii) विरोधोक्ति द्वारा : माना x ≠ 0 ∴ x = p
यदि समीकरण x³ + 4x = 0 का एक मूल p हो, तब
⇒ p³ + 4p = 0 या p(p² + 4) = 0
p = 0 या p² + 4 = 0
p² + 4 ≠ 0,
p= 0 विरोधात्मक है x ≠ p के जो पूर्व निर्धारित है।
अर्थात् p = 0 या x = 0.

(iii) प्रतिधनात्मक कथन द्वारा :
माना x = 0 सत्य नहीं है।
x ϵ R, x² + 4 ≠ 0, और x ≠ 0 (माना गया है)
∴ x(x² + 4) ≠ 0
यह सिद्ध करता है कि x² + 4x = 0 का x = 0 मूल है।

प्रश्न 2.
प्रत्युदाहरण द्वारा सिद्ध कीजिए कि कथन “किसी भी ऐसी वास्तविक संख्याओं a और b के लिए, जहाँ a = का तात्पर्य है कि a=b” सत्य नहीं है।
हल:
माना जब a = 1, b = – 1 तो a² = b²
परन्तु a ≠ b. अतः दिया गया कथन सत्य नहीं है।

प्रश्न 3.
प्रतिधनात्मक विधि द्वारा सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य है।
p : यदि x एक पूर्णांक है और x² सम है तो x भी सम है।
हल:
माना x एक सम संख्या नहीं हैं
x = 2n + 1
x² = (2n + 1)² = 4n² + 4n + 1
= 2 (2n² + 2n) + 1
यह एक विषम संख्या है।
इस प्रकार यदि q सत्य नहीं है तो p भी सत्य नहीं है।
अर्थात दिया हुआ कथन सत्य है।

प्रश्न 4.
प्रत्युदाहरण द्वारा सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य नहीं हैं।
(i) p : यदि किसी त्रिभुज के कोण समान हैं, तो त्रिभुज एक अधिक कोण त्रिभुज है।
हल:
माना एक कोण = 90 + θ
तीनों कोण समान हों, तब
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 3 (90 + θ) = 270 + 3θ
यह 180° के बराबर नहीं है।
∴ त्रिभुज का कोई भी कोण अधिक कोण नहीं हो सकता अर्थात वह त्रिभुज अधिक कोण त्रिभुज नहीं हो सकता है।

(ii) q : समीकरण x² – 1 = 0 के मूल 0 और 2 के बीच स्थित नहीं है।
हल:
0 और 2 के बीच की संख्या 1 लीजिए
x² – 1 = 0 में x = 1 रखने पर
1 – 1 = 0,
अतः x = 1, दिए हुए समीकरण को संतुष्ट करता है।
इसलिए x = 1, समीकरण x² – 1 = 0 का मूल है और 0 और 2 के बीच स्थित हैं।
अतः दिया गया कथन सत्य नहीं है।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित कथनों मे से कौन से सत्य हैं और कौन से असत्य हैं। प्रत्येक दशा में अपने उत्तर के लिए वैध कारण बतलाइए:
(i) p : किसी वृत्त की प्रत्येक त्रिज्या वृत्त की जीवा होती है।
हल:
असत्य : त्रिज्या का एक सिरा केंद्र पर ओर दूसरा सिरा वृत्त पर होता हो तो वह जीवा नहीं होती है।
अतः यह वृत्त की जीवा नहीं है।

(ii) q : किसी वृत्त का केंद्र वृत्त की प्रत्येक जीवा को समद्विभाजित करता है। .
हल:
असत्य : वृत्त का केंद्र केवल व्यास को समद्विभाजित करता है। प्रत्येक जीवा केंद्र से होकर नहीं जाती है। अतः वृत्त का केंद्र प्रत्येक जीवा को समद्विभाजित नहीं करता है।

(iii) r : एक वृत्त किसी दीर्घवृत्त की एक विशेष स्थिति है।
हल:

अतः यह वृत्त का समीकरण है।

(iv) s : यदि x और y ऐसे पूर्णांक हैं कि x > y, तो – x < – y हैं।
हल: सत्य : यदि x और y पूर्णांक हैं और x > y तो – x < – y (असमिकाओं के नियम से)

(v) t : √11 एक परिमेय संख्या है।
हल:
असत्य : √11 एक अपरिमेय संख्या है।