Chapter 16 प्रायिकता Ex 16.1
निम्नलिखित प्रश्नों 1 से 7 में निर्दिष्ट परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 1.
एक सिक्के को तीन बार उछाला गया है।
हल:
एक सिक्के को 3 बार उछालने से प्रतिदर्श समष्टि
S = {HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT, TIT}
प्रश्न 2.
एक पासा दो बार फेंका गया है।
हल:
एक पासे को दो बार फेंकने से जो घटनाएं घटी उनका प्रतिदर्श समष्टि :
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4,3), (4, 4), (4,5), (4,6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5,5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), 6, 5), (6, 6)}
प्रश्न 3.
एक सिक्का चार बार उछाला गया है।
हल:
एक सिक्के को 4 बार उछालने से घटनाओं का प्रतिदर्श समष्टि इस प्रकार है
S = {HHHH, HHHT, HHTH, HTHH, HTTH, HTHT, HHTT, HTTT, THHH, THHT, THTH, TTHH, TTTH, TTHT, THTT, TTTT}
प्रश्न 4.
एक सिक्का उछाला गया है और एक पासा फेंका गया है।
हल:
एक सिक्का व एक पासा उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि
S = {H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6}
प्रश्न 5.
एक सिक्का उछाला गया है और केवल उस दशा में, जब सिक्के पर चित्त प्रकट होता है एक पास फेंका जाता है।
हल:
सिक्के पर चित्त आने से एक पासा फेंका जाता है अन्यथा नहीं की प्रतिदर्श समष्टि
S = {H1, H2, H3, H4, H5, H6, T}
प्रश्न 6.
X कमरे में 2 लड़के और 2 लड़कियाँ तथा Y कमरे में 1 लड़का और 3 लड़कियाँ हैं। उस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए जिसमें पहले एक कमरा चुना जाता है और फिर एक बच्चा चुना जाता है।
हल:
माना X कमरे के लड़के व लड़कियों को B1, B2, G1, G2, और Y कमरे के लड़के व लड़कियों को B3, G3, G4, G5 से दर्शाया गया है। एक कमरे को चुनना और फिर एक बच्चे को चुने जाने की प्रतिदर्श समष्टि
S = {XB1, XB2, XG1, XG2, YB3, YG3, YG4, YG5} .
प्रश्न 7.
एक पासा लाल रंग का, एक सफेद रंग का और एक अन्य पासा नीले रंग का एक थैले में रखे हैं। एक पासा यादृच्छया चुना गया और उसे फेंका गया है। पासे का रंग और इसके ऊपर के फलक पर प्राप्त संख्या को लिखा गया है। प्रतिदर्श समष्टि का वर्णन कीजिए।
हल:
माना लाल रंग को R से, सफेद रंग को W से तथा नीले रंग को B से दर्शाया गया हो तो पासे को चुन कर अंकों को प्राप्त करने की प्रतिदर्श समष्टि
S = {R1, R2, R3, R4, R5, R6, W1, W2, W3, W4, W5, W6, B1, B2, B3, B4, B5, B6}
प्रश्न 8.
एक परीक्षण में 2 बच्चों वाले परिवारों में से प्रत्येक में लड़के-लड़कियों की संख्या को लिखा जाता है।
(i) यदि हमारी रूचि इस बात को जानने में है कि जन्म के क्रम में बच्चा लड़का है या लड़की है तो प्रतिदर्श समष्टि क्या होगी?
(ii) यदि हमारी रूचि किसी परिवार में लड़कियों की संख्या जानने में है तो प्रतिदर्श समष्टि क्या होगी?
हल:
(i) परिवार में दो बच्चे हैं वे लड़के, लड़की हो सकते हैं। इनकी प्रतिदर्श समष्टि = {BB, BG,GB, GG} है।
(ii) एक परिवार में कोई लड़की न हो या एक या दो लड़कियाँ होगी। अतः प्रतिदर्श समष्टि {0, 1, 2}
प्रश्न 9.
एक डिब्बे में 1 लाल और एक जैसी 3 सफेद गेंद रखी गई हैं। दो गेंद उत्तरोत्तर (In succession) बिना प्रतिस्थापित किए यादृच्छया निकाली जाती है। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।
हल:
डिब्बे में एक लाल व 3 सफेद गेंद हैं।
यदि लाल को R से, सफेद को W से निरूपित किया जाए तो इस प्रशिक्षण का प्रतिदर्श समष्टि
S = {RW, WR, WW}.
प्रश्न 10.
एक परीक्षण में एक सिक्के को उछाला जाता है और यदि उस पर चित्त प्रकट होता है तो उसे पुनः उछाला जाता है। यदि पहली बार उछालने पर पद प्राप्त होता है तो एक पासा फेंका जाता है। प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात ‘ कीजिए।
हल:
यदि एक सिक्का उछाला जाता है और चित्त प्रकट होता है तो दुबारा उछालने पर चित्त या पट् आ सकता है। इस प्रकार घटना HH या HT होगी। पट् आने पर पासा फेंका जाता है। पासा फेंकने से संख्या 1, 2, 3, 4, 5, 6 आ सकती है।
∴ प्रतिदर्श समष्टि = {HH, HT, TI, T2, T3, T4, T5, T6}.
प्रश्न 11.
मान लीजिए कि बल्बों के एक ढेर में से 3 बल्ब यादृच्छया निकाले जाते हैं। प्रत्येक बल्ब को जाँचा जाता है और उसे खराब (D) या ठीक (N) में वर्गीकृत करते हैं। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।
हल:
खराब के लिए D और ठीक बल्ब को N द्वारा निरूपित करते हैं। तीन बल्बों से बना प्रतिदर्श समष्टि इस प्रकार है।
{DDD, DDN, DND, NDD, NND, NDN, DNN, NNN}
प्रश्न 12.
एक सिक्का उछाला जाता है। यदि परिणाम चित्त हो तो एक पासा फेंका जाता है। यदि पासे पर एक सम संख्या प्रकट होती है, तो पासे को पुनः फेंका जाता है। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।
हल:
एक सिक्का उछालने पर यदि चित्त को H से और पट को T से दर्शाया जाए और चित्त आने पर पासा फेंका जाता है H1, H2, H3, H4, H5, H6 की घटनाएं हो सकती हैं। H2, H4, H6 आने की अवस्था में पासा दुबारा फेंका जाता है जिससे प्रत्येक की 1, 2, 3, 4, 5, 6 की छः घटनाएं हो सकती हैं।
इस प्रकार प्रतिदर्श समष्टि है :
{T, H1, H3, H5, H21, H22, H23, H24, H25, H26, H41, H42, H43, 144, H45, H46, H61, H62, H63, H64, H65, H66}
प्रश्न 13.
कागज की चार पर्चियों पर संख्याएँ 1, 2, 3, 4 अलग-अलग लिखी गई हैं। इन पर्चियों को एक डिब्बे में रख कर भली-भाँति मिलाया गया है। एक व्यक्ति डिब्बे में से दो पर्चियाँ एक के बाद दूसरी बिना प्रतिस्थापित किए निकालता है। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।
हल:
एक डिब्बे में चार पर्चियाँ हैं। जिन पर 1, 2, 3, 4 लिखा है। यदि पर्ची सं. 1 पहली पर्ची हो दूसरी पर्ची पर सं. 2, 3, 4 लिखा होगा। इसी प्रकार पहली पर्ची पर 2 लिखा हो तो शेष पर्ची पर 1, 3, 4 लिखा होगा।
इस प्रकार प्रतिदर्श समष्टि है :
{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4,3)}
प्रश्न 14.
एक परीक्षण में एक पासा फेंका जाता है और यदि पासे पर प्राप्त संख्या सम है तो एक सिक्का एक बार उछाला जाता है। यदि पासे पर प्राप्त संख्या विषम है तो सिक्के को दो बार उछालते हैं। प्रतिदर्श समष्टि लिखिए।
हल:
पासा फेंकने से यदि सम संख्या प्राप्त होती है तो सिक्का उछालने पर H या T की घटना होगी। यदि पासे पर विषम संख्या आती है तो सिक्का दो बार उछाला जाता है जिससे HH, HT, TH, TT घटनाएँ हो सकती हैं। इस प्रकार प्रतिदर्श समष्टि इस प्रकार है-
{2H, 2T, 4H, 4T, 6H, 6T, 1HH, 1HT, 1TH, 1TT, 3HH, 3HT, 3TH, 3TT, 5HH, SHT, 5TH, 5TT}.
प्रश्न 15.
एक सिक्का उछाला गया यदि उस पर पद प्रकट होता है तो एक डिब्बे में से जिसमें 2 लाल और 3 काली गेंदे रखी हैं, एक गेंद निकालते हैं। यदि सिक्के पर चित्त प्रकट होता है तो एक पासा फेंका जाता है। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि लिखिए।
हल:
यदि लाल रंग की गेंद को R1, R2, से तथा काले रंग की गेंद को B1, B2, B3 से दर्शाया जाए तो सिक्का उछालने पर यदि पट् आता है तो R1, R2, B1, B2, B3, में से एक घटना होगी। यदि सिक्के पर चित्त आता है तो पासा फेंकने से 1, 2, 3, 4, 5, 6 आते हैं। तो प्रतिदर्श समष्टि इस प्रकार है :
{TR1, TR2, TB1, TB2, TB3, H1, H2, H3, H4, H5, H6}.
प्रश्न 16.
एक पासे को बार-बार तब तक फेंका जाता है जब तक उस पर 6 प्रकट न हो जाए। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि क्या है ?
हल:
6 आने पर पासा दुबारा नहीं फेंका जाएगा। यदि 1, 2, 3, 4, 5 में से कोई संख्या प्रकट होती है तो पासा दुबारा नहीं फेंका जाता। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि है :
{6, (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (1, 1, 6), (1, 2, 6),… (1, 5, 6), (2, 1, 6), (2, 2, 6), …, (2, 5, 6),… (3, 1, 6), (3, 2, 6), …, (3, 5, 6), (4, 1, 6), (4, 2, 6), … (4, 5, 6), (5, 1, 6), (5, 2, 6),…, (5, 5, 6)….}.