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Chapter 2 बहुपद Ex 2.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित पर बहुपद 5x – 4x2 + 3 के मान ज्ञात कीजिए
(i) x = 0
(ii) x = – 1
(iii) x = 2
हल:
प्रश्नानुसार 5x – 4x2 + 3 = p (x)
(i) x = 0
.:. p(0) = 5.0 – 4.(0)2 + 3
= 0 – 0 + 3
= 3

(ii) x = – 1
p (- 1) = 5 (-1) – 4(-1)2 + 3
= -5 – 4 + 3
= – 6

(iii) x = 2
p (2) = 5(2) – 4 (2)2 + 3
= 10 – 16 + 3
= – 3

प्रश्न 2.
निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद के लिए p (0), p (1) और p (2) ज्ञात कीजिए
(i) p (y) = y2 – y +1
(ii) p (1) = 2 + t + 2t2 – t3
(iii) p (x) = x
(iv) p (x) = (x – 1) (x + 1)
हल:
(i) p (y) = y2 – y + 1
p (0) = p (0) = (0)2 – (0) + 1
= 1

p (1) ⇒ p (1) = (1)2 – (1) + 1
= 1 – 1 + 1 = 1

p (2) ⇒ p (2) = (2)2 – (2) + 1
= 4 – 2 + 1 = 3

(ii) p (t) = 2 + t + 2t2 – t3
p (0) ⇒ p (0) = 2 + 0 + 2 (0)2 – (0)3
= 2 + 0 + 0 – 0 = 2

p (1) ⇒ p (1) = 2 + 1 + 2(1)2 – (1)3
= 2 + 1 + 2 – 1 = 4

p (2) ⇒ p (2) = 2 + 2 + 2 (2)2 – (2)3
= 2 + 2 + 8 – 8 = 4

(iii) p (x) = x3
p (0) ⇒ p (0) = (0)3 = 0
p (1) ⇒ p (1) = (1)3 = 1
p (2) ⇒ p (2) = (2)3 = 8

(iv) p (x) = (x – 1) (x + 1) = x2 – 1
p (0) ⇒ p (0) = (0)2 – 1 = – 1
p (1) ⇒ p (1) = (1)2 – 1= 0
p (2) ⇒ p (2) = (2)2 – 1 = 4 – 1 = 3

प्रश्न 3.
सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शून्यक हैं

(iii) p (x) = x2 – 1; x = 1, x = – 1
हल:
p (x) = x2 – 1; x = 1, x = – 1
सर्वप्रथम इस बहुपद में x = 1 रखने पर
p (1) = (1)2 – 1 = 1 – 1 = 0 पुनः इस बहुपद में x = – 1 रखने पर
p (- 1) = (- 1)2 – 1 = 1 – 1 = 0
अत: यह सत्यापित होता है कि मान x = 1 तथा – 1 बहुपद – 1 का शून्यक है।

(iv) p (x) = (x + 1) (x – 2); x = – 1, 2
हल:
p (x) = (x + 1) (x – 2); x = – 1, 2
सर्वप्रथम इस बहुलक में x = – 1 रखने पर ।
p (- 1) = (-1 + 1) (-1-2) = 0 . (-3) = 0

पुनः इस बहुपद में x = 2 रखने पर
p (2) = (2 + 1) (2 – 2) = 3.0 = 0
अतः यह सत्यापित होता है कि मान x = – 1 व 2 बहुपद (x + 1) (x – 2) का शून्यक है।

(v). p (x) = x2; x = 0
हल:
p (x) = x2; x = 0 इस बहुपद में x = 0 मान प्रतिस्थापित करने पर
p (0) = (0)2 = 0
अतः यह सत्यापित होता है कि मान x = 0 बहुपद p (x) = x का शून्यक है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में बहुपद का शून्यक ज्ञात कीजिए
(i) p (x) = x + 5
हल:
p (x) = x + 5
इस पद में p (x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p (x) = 0 को हल करना।
अर्थात् x + 5 = 0
या x = -5
अतः – 5 बहुपद x + 5 का एक शून्यक है।

(ii) p (x) = x – 5
हल:
p (x) = x – 5
इस पद में p (x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p (x) = 0 को हल करना।
अर्थात् x – 5 = 0
या x = 5
अत: 5 बहुपद x – 5 का एक शून्यक है।

(iii) p (x) = 2x + 5
हल:
p (x) = 2x + 5
इस पद में p (x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p (x) = 0 को हल करना।
अर्थात् 2x + 5 = 0

(iv) p (x) = 3x – 2
हल:
p (x) = 3x – 2
इस पद में p (x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p (x) = 0 को हल करना।
अर्थात् 3x – 2 = 0

(v) p (x) = 3x
हल:
p (x) = 3x
इस पद में p (x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p (x) = 0 को हल करना।
अर्थात् 3x = 0
या x = 0
अतः x = 0 इस बहुपद का एक शून्यक है।

(vi) p (x) = ax; a ≠ 0
हल:
p (x) = ax; a ≠ 0
इस पद में p (x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p (x) = 0 को हल करना।
अर्थात् ax = 0
या x= 0 ⇒ 0
अतः 0 बहुपद ax का शून्यक है।

(vii) p (x) = cx + d; c ≠ 0, c, d वास्तविक संख्याएँ हैं।
हल:
p (x) = cx + d; c # 0, c, d वास्तविक संख्याएँ हैं।
इस पद में p (x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p (x) = 0 को हल करना।
अर्थात् cx + d = 0
या cx = -d

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