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Chapter 2 बहुपद Ex 2.3

प्रश्न 1.
विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके, निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए:
(i) p(x) = x3 – 3x2 + 5x – 3, g(x) = x2 – 2
हल-
दिया है, p(x) = x3 – 3x2 + 5x – 3 तथा g(x) = x2 – 2
माना भागफल q(x) और शेषफल r(x) हो तो यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से,

∴ भागफल q(x) = x – 3,
शेषफल r(x) = 7x – 9

(ii) p(x) = x4 – 3x2 + 4x + 5, g(x) = x2 + 1 – x
हल-
दिया गया है,
p(x) = x4 – 3x2 + 4x + 5, g(x) = x2 + 1 – x = x2 – x + 1
माना भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) हो तो यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से,

∴ भागफल g(x) = x2 + x – 3 तथा शेषफल r(x) = 8 होगा।

(iii) p(x) = x4 – 5x + 6, g(x) = 2 – x2
हल-
दिया गया है,
p(x) = x4 – 5x + 6
g(x) = 2 – x2
माना भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) है। तब यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम से,

अतः भागफल q(x) = -x2 – 2 तथा शेषफल r(x) = -5x + 10

प्रश्न 2.
पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद, द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड है :
(i) t2 – 3, 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12
हल-
2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12 को t2 – 3 से भाग करने पर

चूँकि, शेषफल शून्य है, अतः t2 – 3 बहुपद 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12 का एक गुणनखण्ड है।

(ii) x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2
हल-
3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2 को x2 + 3x + 1 से भाग करने पर

चूँकि, शेषफल शून्य है, अतः x2 + 3x + 1 बहुपद 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2 का एक गुणनखण्ड है।

(iii) x3 – 3x + 1, x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1
हल-
x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1 बहुपद को x3 – 3x + 1 से भाग करने पर

यहाँ शेषफल 2 है अर्थात् शेषफल शून्य नहीं है अतः x3 – 3x + 1 बहुपद x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1 का गुणनखण्ड नहीं है।

प्रश्न 3.

अतः, 3x4 + 6x3 – 2x2 – 10x – 5 = (3x2 – 5)(x2 + 2x + 1)
अब, x2 + 2x + 1 = x2 + x + x + 1
= x(x + 1) + 1(x + 1)
= (x + 1) (x + 1)
अतः इसके अन्य शून्यक -1 और -1 होंगे।

प्रश्न 4.
यदि x3 – 3x2 + x + 2 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमशः x – 2 और -2x + 4 हैं तो g(x) ज्ञात कीजिए।
हल-
बहुपद x3 – 3x2 + x + 2 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर भागफल (x – 2) व शेषफल -2x + 4 प्राप्त होता है।
∴ भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
या (x – 2) × g(x) + (-2x + 4) = x3 – 3x2 + x + 2
या (x – 2) × g(x) = x3 – 3x2 + x + 2 + 2x – 4

अब, बहुपद x3 – 3x2 + 3x – 2 को x – 2 से भाग देने पर

अतः, g(x) = x2 – x + 1 प्राप्त होगा।

प्रश्न 5.
बहुपदों p(x), g(x), q(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथ्म को सन्तुष्ट करते हों तथा
(i) घात p(x) = घात q(x)
हल-
हमें p(x) व q(x) ऐसा चाहिये कि p(x) की घात = q(x) की घात 
तब p(x) की घात = q(x) की घात . q(x) की घात
⇒ g(x) की घात शून्य होनी चाहिए।
माना कि p(x) = 5x2 – 5x + 10, g(x) = 5
q(x) = x2 – x + 2; r(x) = 0

विभाजन एल्गोरिथ्म से,
5x2 – 5x + 10 = 5(x2 – x + 2) + 0
p(x) = g(x) . q(x) + r(x)
अतः p(x) की घात = q(x) की घात = 2

(ii) घात q(x) = घात r(x)
हल-
q(x) की घात = r(x) की घात
p(x) = g(x) . q(x) + r(x)
p(x) की घात, g(x) की घात व q(x) की घात के योग के बराबर होना चाहिए।
माना कि p(x) = 7x3 – 42x + 53
g(x) = x3 – 6x + 7
q(x) = 7
r(x) = 4

∴ विभाजन एल्गोरिथ्म से,
7x3 – 42x + 53 = 7(x3 – 6x + 7) + 4
p(x) = q(x) . g(x) + r(x)
अतः q(x) की घात = शून्य

(iii) घात r(x) = 0
हल-
घात r(x) = 0
माना p(x) = x + 2
और g(x) = x2 – x + 1
⇒ x3 + 2 में x2 – x + 1 से भाग देने पर

विभाजन एल्गोरिथ्म से,
x3 + 2 = (x2 – x + 1) (x + 1) + 1
p(x) = g(x) . q(x) + r(x)
साथ ही घात r(x) = 0

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