Day
Night

Chapter 2 बहुपद Ex 2.5

प्रश्न 1.
उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए
(i) (x + 4) (x + 10)
हल:
(x + 4) (x + 10) दी गई सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर,
यहाँ a = 4 व b = 10 है।
(x + 4) (x + 10) = x2 + (4 + 10) x + 4.10
= x2 + 14x + 40

(ii) (x + 8) (x – 10)
हल:
(x + 8) (x – 10)
दी गई सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab का प्रयोग करने पर, यहाँ a = 8 तथा b = – 10
अर्थात् (x + 8) (x – 10)= x + (8 – 10)x + 8 (- 10)
= x2 – 2x – 80

(iii) (3x + 4) (3x – 5)
हल:
(3x + 4) (3x – 5) यहाँ माना 3x = ।
∴ दिया गया व्यंजक = (y + 4) (y – 5)
दी गई सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab का प्रयोग करने पर,
यहाँ a = 4 तथा b = -5
अर्थात् (y + 4) (y – 5) = y2 + (4 – 5)y +4. (-5)
= y2 – y – 20

अब पुनः y का मान रखने पर
= (3x)2 – 3x – 20
= 9x2 – 3x – 20

अब पुनः x का मान रखने पर
= (y)2 – 9494
= y2 – 9494

(v) (3 – 2x) (3 + 2x)
हल:
(3 – 2x) (3 + 2x)
= – (2x – 3) (2x + 3)
= – (2x + 3) (2x – 3)

यहाँ माना 2x = y
∴ दिया गया व्यंजक = – (y + 3) (v – 3)
दी गई सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर, यहाँ a = 3, b = – 3
अर्थात् – (y + 3) (y – 3)
= – [y2 + (3 – 3) y – 9]
= – [y2 – 9] के स्थान पर 2x मान प्रतिस्थापित करने पर
= – [(2x)2– 9] = – [4x2 – 9]
= 9 – 4x2

प्रश्न 2.
सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए-
(i) 103 × 107
हल:
103 × 107 = (100 + 3) x (100 + 7)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab का प्रयोग करने पर
यहाँ a = 3, b = 7 तथा x = 100 अर्थात् (100 + 3) (100 + 7)
= (100) + (3 + 7) 100 + 3 × 7 = 10000 + 1000 + 21
= 11021

(ii) 95 × 96
हल:
95 × 96 = (100 – 5) (100 – 4)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
यहाँ a = – 5, b = – 4 तथा x = 100 अर्थात् (100 – 5) (100 – 4)
= (100) + (-5 – 4) 100 + -5 × – 4
= 10000 – 900 + 20 = 10020 – 900
= 9120

(iii) 104 × 96
हल:
104 × 96 = (100 + 4) (100 – 4)
= (100)2 – (4)2 सर्वसमिका a2 – b2 = (a + b) (a – b) का प्रयोग करने पर
यहाँ a = 100 तथा b = 4
अर्थात् (100)2 – (4)2
= 10000 – 16
= 9984

प्रश्न 3.
उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखण्डन कीजिए
(i) 9x2 + 6xy + y2
हल:
9x2 + 6xy + y2
सर्वसमिका (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 का प्रयोग करने पर
अर्थात् 9x2 + 6xy + y2
= (3x)2 + 2 (3x) (y) + (y)2
= (3x + y) = (3x + y) (3x + y)

(ii) 4y2 – 4y + 1
हल:
4y2 – 4y + 1
सर्वसमिका (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 का प्रयोग करने पर अर्थात् 4y2 – 4y + 1
= (2y)2 – 2 (2y) (1) + (1)2
= (2y – 1)2
= (2y – 1) (2y – 1) उत्तर

प्रश्न 4.
उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए
(i) (x + 2y + 4z)2
हल:
(x + 2y + 4z)2
सर्वसमिका (a + b + c) = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार पद
(x + 2y + 4z)2 तथा (a + b + c)2 की तुलना करने पर
a = x, b = 2y तथा c = 4z
(x + 2y + 4z)2 = (x)2 + (2y)2 + (4z)2 + 2 . x. 2y + 2 . 2y . 4z + 2 . 4z . x
= x2 + 4y2 + 16z2 + 4xy + 16yz + 8xz.

(ii) (2x – y + z)2
हल:
(2x – y + z)2 = [2x + (- y) + z]2
सर्वसमिका (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार
पद [2x + (-y) + z]2 तथा (a + b + c)2 की तुलना करने पर
[2x + (-y) + 2]2 = (2x)2 + (-y)2 + (z)2 + 2 (2x) (-y) + 2 (-y) (2) + 2 (2) (2x)
= 4 + y + z – 4xy – 2yz + 4zx

(iii) (- 2x + 3y + 2z)2
हल:
(- 2x + 3y + 2z)2 = [(- 2x) + 3y + 22]2
सर्वसमिका (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार पद [(- 2x) + 3y + 2z]2 तथा (a + b + c)2 की तुलना करने पर
[(- 2x) + 3y + 2z]2 = (- 2x)2 + (3y)2 + (2z)2 + 2 (- 2x) (3y) + 2 (3y) (27) + 2 (25) (-2x)
= 4x2 + 9y2 + 4z2 – 12xy + 12yz – 8x

(iv) (3a – 7b – c)2
हल:
(3a – 7b – c)2 = [(3a) + (-7b) + (-c)]2
सर्वसमिका (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार
पद [(3a) + (-7b) + (-c)]2 तथा (a + b + c)2 की तुलना करने पर
[(3a) + (-7b) + (-c)]2 = (3a)2 + (-7b)2 + (- c)2 + 2 (3a) (- 7b) + 2 (- 7b)(-c) + 2 (- c) (3a)
= 9a2 + 49b2 + c2 – 42ab + 14bc – 6ca

(v) (- 2x + 5y – 3z)2
हल:
(- 2x + 5y – 3z)2 = [(-2x) + 5y + (-3z)]2
सर्वसमिका (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार
पद [(-2x) + 5y + (-3z)]2 तथा (a + b + c)2 की तुलना करने पर [(- 2x) + 5y + (-3z)]2 = (- 2x)2 + (5y)2 + (-3z)2 + 2 (- 2x) (5y) + 2 (5y)(-3z) + 2 (-3z) (-2x)
= 4x2 + 25y2 + 9z2 – 20xy – 30yz + 12xz.

RBSE Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.5 1

प्रश्न 5.
गुणनखण्डन कीजिए
(i) 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy – 24yz – 16xz.
हल:
4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy – 24yz – 16xz.
सर्वसमिका a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार = (2x)2 + (3y)2 + (-4z)2 + 2 (2x) (31) + 2 (3y) (-4z) + 2 (-4z) (2x)
= (2x + 3y – 4z)2 = (2x + 3y -4z) (2x + 3y – 47)

(ii) 2x2 + y2 + 8z2 – 2√2xy + 4√2yz – 8xz.
हल:
2x2 + y2 + 8z2 – 2√2xy + 4√2yz – 8xz.
सर्वसमिका a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार
= (-√2x)2 + (y)2 + (2√2)2 +2(-√2x)(y) + 2(y) (2√2z) + 2(2√2z)(-√2x)
= [(-√2x) + y + (2√2z)]
= (-√2x + y + 2√2z)
=(-√2x + y + 2√2z)(-√2x + y+2√2z)

प्रश्न 6.
निम्नलिखित घनों को प्रसारित रूप में लिखिए
(i) (2x + 1)3
हल:
(2x + 1)3
सर्वसमिका (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b) के अनुसार
अब पद (a + b)3 तथा (2x + 1)3 की तुलना करने पर
यहाँ a = 2x तथा b = 1
∴ (2x + 1)3
= (2x)3 + (1)3 + 3 (2x ). 1 . (2x + 1)
= 8x3 + 1 + 6x . (2x + 1)
= 8x3 + 1 + 12x2 + 6x
= 8x3 + 12x2 + 6x + 1 उत्तर

(ii) (2a – 3b)3
हल:
(2a – 3b)3
सर्वसमिका (a – b)3 = a3 – b3 – 3ab (a – b) के अनुसार
अब पद (a – b)3 तथा [(2a) – (3b)]3 की तुलना करने पर
यहाँ a = 2a तथा b = 3b
∴ (2a – 3b)3
= (2a)3 – (3b)3 -3 (2a) (3b) (2a – 3b)
= 8a3 – 27b3 – 18ab (2a – 3b)
= 8a3 – 27b3 – 36a2b + 54ab2

प्रश्न 7.
उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए
(i) (99)3
हल:
(99)3 = (100 – 1)3
सर्वसमिका (a – b)3 = a3 – b3 – 3ab (a – b) के अनुसार
अब पद (a – b)3 तथा (100 – 1)3 की तुलना करने पर
यहाँ a = 100 तथा b = 1
∴ (100 – 1)3 = (100)3 – (1)3 – 3(100) (1) (100 – 1)
= 1000000 – 1 – 300 (100 – 1)
= 1000000 – 1 – 30000 + 300
= 1000300 – 30001
= 970299

(ii) (102)3
हल:
(102)3 = (100 + 2)3
सर्वसमिका (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b) के अनुसार
अब पद (a + b)3 तथा (100 + 2)3 की तुलना करने पर ।
यहाँ a = 100 तथा b = 2
∴ (100 + 2)3
= (100)3 + (2)3 + 3(100) (2) (100 + 2)
= 1000000 + 8 + 600 (100 + 2)
= 1000000 + 8 + 60000 + 1200
= 1061208

(iii) (998)3
हल:
(998)3 = (1000 – 2)3
सर्वसमिका (a – b)3 = a3 – b3 – 3ab (a – b) के अनुसार
अब पद (a – b)3 तथा (1000 – 2)3 की तुलना करने पर
यहाँ a = 1000 तथा b = 2
:. (1000 – 2)3 = (1000)3 – (2)3 – 3(1000) (2) (1000 – 2)
= 1000000000 – 8 – 6000 (1000 – 2)
= 1000000000 -8-6000000 + 12000
= 1000012000 – 6000008
= 994011992

प्रश्न 8.
निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखण्डन कीजिए
(i) 8a3 + b3 + 12a2b+ 6ab2
हल:
8a3 + b3 + 12a2b + 6ab2
[सर्वसमिका x3 + y 3+ 3xy (x + y) = (x + y)3 के अनुसार]
यहाँ x = 2a तथा y = b दिए हुए व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है
∴ = (2a)3 + (b)3 + 3(2a) (b) (2a + b)
= (2a + b)3

(ii) 8a3 – b3 – 12a2b + 6ab2
हल:
8a3 – b3 – 12a2b + 6ab2
सर्वसमिका x3 – y3 – 3xy (x – y) = (x – y)3 के अनुसार
यहाँ x = 2a, y = b
∴ = (2a)3 – (b)3 – 3 (2a) (b) (2a – b)
= (2a – b)3

(iii) 27 – 125a3 – 135a + 225a2
हल:
27 – 125a3 – 135a + 225a2
सर्वसमिका x3 – y3 – 3xy (x – y) = (x – y)3 के अनुसार
यहाँ x = 3, y = 5a
∴ = (3)3 – (5a)3 – 3(3) (5a) (3 – 5a)
= (3 – 5a)3

(iv) 64a3 – 27b3 – 144a2b + 108ab2
हल:
64a3 – 27b3 – 144a2b + 108ab2
सर्वसमिका x3 – y3 – 3xy (x – y) = (x – y)3 के अनुसार
यहाँ x = 4a तथा y = 3b
∴ = (4a)3 – (3b)3 – 3(4a) (3b) (4a – 3b)
= (4a – 3b)3

प्रश्न 9.
सत्यापित कीजिए
(i) x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2)
हल:
x + y = (x + y) (x2 – xy + y2)
R.H.S. = (x + y) (x2 – xy + y2)
= x (x2 – xy + y2) + y (x2 – xy + y2)
= x3 – x2y + xy2 + x2y – xy2 + y3
= x3 + x2y – x2y + xy2 – xy2 + y3
= x3 + y3
= L.H.S.

(ii) x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2)
हल:
x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2)
R.H.S: = (x – y) (x2 + xy + y2)
= x (x2 + xy + y2) – y (x2 + xy + y2)
= x3 + x2y + xy2 – yx2 – xy2 – y3
= x3 + x2y – x2y + xy2 – xy2 – y3
= x3 – y3
= L.H.S.

प्रश्न 10.
निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखण्डन कीजिए
(i) 27y3 + 125z3
हल:
27y3 + 125z3
सर्वसमिका a + b = (a + b) (a2 – ab + b2) । के अनुसार
यहाँ a = 3y तथा b = 5z
अर्थात् 27y3 + 125z3
= (3y)3 + (5z)3
= (3y + 5z) [(3y)2 – (3y) (5z) + (5z)2]
= (3y + 5z) (9y2 -15yz + 25z2)

(ii) 64m3 – 343n3
हल:
64m3 – 343n3
सर्वसमिका a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) के अनुसार
यहाँ a = 4m तथा b = 7n
अर्थात् 64m3 – 343n3
= (4m)3 – (7n)3
= (4m – 7n) [(4m)2 + (4m) (7n) + (7n)2]
= (4m – 7n) (16m2 + 28mn + 49n2)

प्रश्न 11.
गुणनखण्डन कीजिए 27x3 + y + 2z3 – 9xyz.
हल:
27x3 + y + 2z3 – 9xyz
सर्वसमिका a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) के अनुसार
यहाँ a = 3x, b = y, c = 2
∴ 27x3 + y3 + z3 – 9xyz = (3x)3 + (y)3 + (2)3 – 3 (3x) (y) (3)
= (3x + y + z) [(3x)2 + (y)2 + (z)2 – (3x) (y) – (y) (2) – (3x) (2)]
= (3x + y + z) (9x2 + y2 + z2 – 3xy – yz – 3xz)

प्रश्न 12.
सत्यापित कीजिए x3 + y3 + z3 – 3xyz = 1/2(x + y + z)[(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2]
हल:
x3 + y3 + z3 – 3xyz = 1/2(x + y + z)[(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2]
R.H.S. = (x + y + z) [(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2]
= 1/2(x + y + c) [x2 + y2 – 2xy + y2 + z2 – 2yz + z2 + x2 – 2xz]
= 1/2 (x + y + z) [2x2 + 2y2 + 2x2 – 2xy – 2yz – 2rx]
= 1/2 (x + y + z).2 (x2 + y2 + z2 – xy – yz – xz)
= 1/2 (x + y + z) (x2 + y2 + z2 – zy – yz – xz)
∴ पाठ्यपुस्तक की सर्वसमिका VIII से
x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + 2) (x2 + y2 + z3 – xy – yz – yz) होता है।
अत: इसका मान = x3 + y3 + z3 – 3xyz. = L.H.S.

प्रश्न 13.
यदि x + y + z = 0 हो, तो दिखाइए कि x3 + y3 + z3 = 3xyz है।
हल:
प्रश्नानुसार x + y + z = 0 या x + y = – z ……………..(i)
दोनों पक्षों का घन (cube) करने पर
(x + y)3 = (-z)3
= x3 + y3 + 3xy (x + y) = -z3
= x3 + y3 + 3xy (-z) = -z3 [∵ x + y = – z (i) से]
= x3 + y3 – 3xy = -z3
= x3 + y3 + z = 3xyz. (इतिसिद्धम् )

प्रश्न 14.
वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए
(i) (- 12)3 + (7)3 + (5)3
हल:
(- 12)3 + (7)3 + (5)3 माना कि a = – 12, b = 7 तथा c = 5
सर्वसमिका के अनुसार यदि a + b + c = 0 तब a3 + b3 + c3 = 3abc
∴ a + b + c = – 12 + 7 + 5 = 0
∴ (-12)3 + (7)3 + (5)3 = 3 (- 12) (7) (5)
= – 1260

(ii) (28)3 + (- 15)3 + (- 13)3
हल:
(28) + (- 15) + (- 13)3 माना कि a = 28, b = – 15 तथा c = – 13
सर्वसमिका के अनुसार यदि a + b + c = 0 तब a3 + b3 + c3 = 3abc
∴ a + b + c = 28 – 15 – 13 = 0
∴ (28) + (- 15) + (- 13) = 3 . (28) (- 15) (- 13)
= 16380

प्रश्न 15.
नीचे दिए गए आयतों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं, में से प्रत्येक की लम्बाई और चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिएक्षेत्रफल :
(i) क्षेत्रफल : 25a2 – 35a + 12
हल:
क्षेत्रफल : 25a2 – 35a + 12
अर्थात् लम्बाई x चौड़ाई = 25a2 – 35a + 12
= 25a2 – 15a – 20a + 12
= 5a (5a – 3) -4 (5a-3)
= (5a – 4) (5a – 3)
∴ (i) यदि लम्बाई (5a – 4) तो चौड़ाई (5a -3) होगी।

(ii) क्षेत्रफल : 35y2 + 13y – 12
हल:
यदि लम्बाई (5a – 3) तो चौड़ाई (5a – 4) होगी।

प्रश्न 16.
घनाभों (cuboids), जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं, की विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्या हैं ?
(i) आयतन : 3x2 – 12x
हल:
प्रश्नानुसार आयतन : 3x2 – 12x
अर्थात् लम्बाई x चौड़ाई x ऊँचाई = 3x (x – 4)
∴ घनाभ की विमाओं के लिए संभव व्यंजक
= 3, x और x – 4 हैं।

(ii) आयतन : 12ky2 + 8ky – 20k
हल:
प्रश्नानुसार आयतन : 12ky2 + 8ky – 20k अर्थात् लम्बाई x चौड़ाई x ऊँचाई ।
= 4k (3y2 + 2y -5)
= 4k [3y2 + 5y – 3y – 5]
= 4k [y (3y + 5) – 1 (3y + 5)]
= 4k [(3y + 5) (y – 1)] या लम्बाई x चौड़ाई x ऊँचाई
= 4k (3y + 5) (y – 1)
∴ घनाभ की विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्रमशः 4k, (3y + 5) तथा (y – 1) हैं। 

0:00
0:00