Chapter 2 बहुपद Ex 2.5

Chapter 2 बहुपद Ex 2.5

प्रश्न 1.
उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए
(i) (x + 4) (x + 10)
हल:
(x + 4) (x + 10) दी गई सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर,
यहाँ a = 4 व b = 10 है।
(x + 4) (x + 10) = x² + (4 + 10) x + 4.10
= x² + 14x + 40

(ii) (x + 8) (x – 10)
हल:
(x + 8) (x – 10)
दी गई सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab का प्रयोग करने पर, यहाँ a = 8 तथा b = – 10
अर्थात् (x + 8) (x – 10)= x + (8 – 10)x + 8 (- 10)
= x² – 2x – 80

(iii) (3x + 4) (3x – 5)
हल:
(3x + 4) (3x – 5) यहाँ माना 3x = ।
∴ दिया गया व्यंजक = (y + 4) (y – 5)
दी गई सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab का प्रयोग करने पर,
यहाँ a = 4 तथा b = -5
अर्थात् (y + 4) (y – 5) = y² + (4 – 5)y +4. (-5)
= y² – y – 20

अब पुनः y का मान रखने पर
= (3x)² – 3x – 20
= 9x² – 3x – 20

अब पुनः x का मान रखने पर
= (y)² – 9494
= y² – 9494

(v) (3 – 2x) (3 + 2x)
हल:
(3 – 2x) (3 + 2x)
= – (2x – 3) (2x + 3)
= – (2x + 3) (2x – 3)

यहाँ माना 2x = y
∴ दिया गया व्यंजक = – (y + 3) (v – 3)
दी गई सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर, यहाँ a = 3, b = – 3
अर्थात् – (y + 3) (y – 3)
= – [y² + (3 – 3) y – 9]
= – [y² – 9] के स्थान पर 2x मान प्रतिस्थापित करने पर
= – [(2x)²– 9] = – [4x² – 9]
= 9 – 4x²

प्रश्न 2.
सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए-
(i) 103 × 107
हल:
103 × 107 = (100 + 3) x (100 + 7)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab का प्रयोग करने पर
यहाँ a = 3, b = 7 तथा x = 100 अर्थात् (100 + 3) (100 + 7)
= (100) + (3 + 7) 100 + 3 × 7 = 10000 + 1000 + 21
= 11021

(ii) 95 × 96
हल:
95 × 96 = (100 – 5) (100 – 4)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
यहाँ a = – 5, b = – 4 तथा x = 100 अर्थात् (100 – 5) (100 – 4)
= (100) + (-5 – 4) 100 + -5 × – 4
= 10000 – 900 + 20 = 10020 – 900
= 9120

(iii) 104 × 96
हल:
104 × 96 = (100 + 4) (100 – 4)
= (100)² – (4)² सर्वसमिका a² – b² = (a + b) (a – b) का प्रयोग करने पर
यहाँ a = 100 तथा b = 4
अर्थात् (100)² – (4)²
= 10000 – 16
= 9984

प्रश्न 3.
उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखण्डन कीजिए
(i) 9x² + 6xy + y²
हल:
9x² + 6xy + y²
सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का प्रयोग करने पर
अर्थात् 9x² + 6xy + y²
= (3x)² + 2 (3x) (y) + (y)²
= (3x + y) = (3x + y) (3x + y)

(ii) 4y² – 4y + 1
हल:
4y² – 4y + 1
सर्वसमिका (a – b)² = a² – 2ab + b² का प्रयोग करने पर अर्थात् 4y² – 4y + 1
= (2y)² – 2 (2y) (1) + (1)²
= (2y – 1)²
= (2y – 1) (2y – 1) उत्तर

प्रश्न 4.
उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए
(i) (x + 2y + 4z)²
हल:
(x + 2y + 4z)²
सर्वसमिका (a + b + c) = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार पद
(x + 2y + 4z)² तथा (a + b + c)² की तुलना करने पर
a = x, b = 2y तथा c = 4z
(x + 2y + 4z)² = (x)² + (2y)² + (4z)² + 2 . x. 2y + 2 . 2y . 4z + 2 . 4z . x
= x² + 4y² + 16z² + 4xy + 16yz + 8xz.

(ii) (2x – y + z)²
हल:
(2x – y + z)² = [2x + (- y) + z]²
सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार
पद [2x + (-y) + z]² तथा (a + b + c)² की तुलना करने पर
[2x + (-y) + 2]² = (2x)² + (-y)² + (z)² + 2 (2x) (-y) + 2 (-y) (2) + 2 (2) (2x)
= 4 + y + z – 4xy – 2yz + 4zx

(iii) (- 2x + 3y + 2z)²
हल:
(- 2x + 3y + 2z)² = [(- 2x) + 3y + 22]²
सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार पद [(- 2x) + 3y + 2z]² तथा (a + b + c)² की तुलना करने पर
[(- 2x) + 3y + 2z]² = (- 2x)² + (3y)² + (2z)² + 2 (- 2x) (3y) + 2 (3y) (27) + 2 (25) (-2x)
= 4x² + 9y² + 4z² – 12xy + 12yz – 8x

(iv) (3a – 7b – c)²
हल:
(3a – 7b – c)² = [(3a) + (-7b) + (-c)]²
सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार
पद [(3a) + (-7b) + (-c)]² तथा (a + b + c)² की तुलना करने पर
[(3a) + (-7b) + (-c)]² = (3a)² + (-7b)² + (- c)² + 2 (3a) (- 7b) + 2 (- 7b)(-c) + 2 (- c) (3a)
= 9a² + 49b² + c² – 42ab + 14bc – 6ca

(v) (- 2x + 5y – 3z)²
हल:
(- 2x + 5y – 3z)² = [(-2x) + 5y + (-3z)]²
सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार
पद [(-2x) + 5y + (-3z)]² तथा (a + b + c)² की तुलना करने पर [(- 2x) + 5y + (-3z)]² = (- 2x)² + (5y)² + (-3z)² + 2 (- 2x) (5y) + 2 (5y)(-3z) + 2 (-3z) (-2x)
= 4x² + 25y² + 9z² – 20xy – 30yz + 12xz.

प्रश्न 5.
गुणनखण्डन कीजिए
(i) 4x² + 9y² + 16z² + 12xy – 24yz – 16xz.
हल:
4x² + 9y² + 16z² + 12xy – 24yz – 16xz.
सर्वसमिका a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार = (2x)² + (3y)² + (-4z)² + 2 (2x) (31) + 2 (3y) (-4z) + 2 (-4z) (2x)
= (2x + 3y – 4z)² = (2x + 3y -4z) (2x + 3y – 47)

(ii) 2x² + y² + 8z² – 2√2xy + 4√2yz – 8xz.
हल:
2x² + y² + 8z² – 2√2xy + 4√2yz – 8xz.
सर्वसमिका a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार
= (-√2x)² + (y)² + (2√2)² +2(-√2x)(y) + 2(y) (2√2z) + 2(2√2z)(-√2x)
= [(-√2x) + y + (2√2z)]
= (-√2x + y + 2√2z)
=(-√2x + y + 2√2z)(-√2x + y+2√2z)

प्रश्न 6.
निम्नलिखित घनों को प्रसारित रूप में लिखिए
(i) (2x + 1)³
हल:
(2x + 1)³
सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab (a + b) के अनुसार
अब पद (a + b)³ तथा (2x + 1)³ की तुलना करने पर
यहाँ a = 2x तथा b = 1
∴ (2x + 1)³
= (2x)³ + (1)³ + 3 (2x ). 1 . (2x + 1)
= 8x³ + 1 + 6x . (2x + 1)
= 8x³ + 1 + 12x² + 6x
= 8x³ + 12x² + 6x + 1 उत्तर

(ii) (2a – 3b)³
हल:
(2a – 3b)³
सर्वसमिका (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab (a – b) के अनुसार
अब पद (a – b)³ तथा [(2a) – (3b)]³ की तुलना करने पर
यहाँ a = 2a तथा b = 3b
∴ (2a – 3b)³
= (2a)³ – (3b)³ -3 (2a) (3b) (2a – 3b)
= 8a³ – 27b³ – 18ab (2a – 3b)
= 8a³ – 27b³ – 36a²b + 54ab²

प्रश्न 7.
उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए
(i) (99)³
हल:
(99)³ = (100 – 1)³
सर्वसमिका (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab (a – b) के अनुसार
अब पद (a – b)³ तथा (100 – 1)³ की तुलना करने पर
यहाँ a = 100 तथा b = 1
∴ (100 – 1)³ = (100)³ – (1)³ – 3(100) (1) (100 – 1)
= 1000000 – 1 – 300 (100 – 1)
= 1000000 – 1 – 30000 + 300
= 1000300 – 30001
= 970299

(ii) (102)³
हल:
(102)³ = (100 + 2)³
सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab (a + b) के अनुसार
अब पद (a + b)³ तथा (100 + 2)³ की तुलना करने पर ।
यहाँ a = 100 तथा b = 2
∴ (100 + 2)³
= (100)³ + (2)³ + 3(100) (2) (100 + 2)
= 1000000 + 8 + 600 (100 + 2)
= 1000000 + 8 + 60000 + 1200
= 1061208

(iii) (998)³
हल:
(998)³ = (1000 – 2)³
सर्वसमिका (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab (a – b) के अनुसार
अब पद (a – b)³ तथा (1000 – 2)³ की तुलना करने पर
यहाँ a = 1000 तथा b = 2
:. (1000 – 2)³ = (1000)³ – (2)³ – 3(1000) (2) (1000 – 2)
= 1000000000 – 8 – 6000 (1000 – 2)
= 1000000000 -8-6000000 + 12000
= 1000012000 – 6000008
= 994011992

प्रश्न 8.
निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखण्डन कीजिए
(i) 8a³ + b³ + 12a²b+ 6ab²
हल:
8a³ + b³ + 12a²b + 6ab²
[सर्वसमिका x³ + y ³+ 3xy (x + y) = (x + y)³ के अनुसार]
यहाँ x = 2a तथा y = b दिए हुए व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है
∴ = (2a)³ + (b)³ + 3(2a) (b) (2a + b)
= (2a + b)³

(ii) 8a³ – b³ – 12a²b + 6ab²
हल:
8a³ – b³ – 12a²b + 6ab²
सर्वसमिका x³ – y³ – 3xy (x – y) = (x – y)³ के अनुसार
यहाँ x = 2a, y = b
∴ = (2a)³ – (b)³ – 3 (2a) (b) (2a – b)
= (2a – b)³

(iii) 27 – 125a³ – 135a + 225a²
हल:
27 – 125a³ – 135a + 225a²
सर्वसमिका x³ – y³ – 3xy (x – y) = (x – y)³ के अनुसार
यहाँ x = 3, y = 5a
∴ = (3)³ – (5a)³ – 3(3) (5a) (3 – 5a)
= (3 – 5a)³

(iv) 64a³ – 27b³ – 144a²b + 108ab²
हल:
64a³ – 27b³ – 144a²b + 108ab²
सर्वसमिका x³ – y³ – 3xy (x – y) = (x – y)³ के अनुसार
यहाँ x = 4a तथा y = 3b
∴ = (4a)³ – (3b)³ – 3(4a) (3b) (4a – 3b)
= (4a – 3b)³

प्रश्न 9.
सत्यापित कीजिए
(i) x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
हल:
x + y = (x + y) (x² – xy + y²)
R.H.S. = (x + y) (x² – xy + y²)
= x (x² – xy + y²) + y (x² – xy + y²)
= x³ – x²y + xy² + x²y – xy² + y³
= x³ + x²y – x²y + xy² – xy² + y³
= x³ + y³
= L.H.S.

(ii) x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)
हल:
x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)
R.H.S: = (x – y) (x² + xy + y²)
= x (x² + xy + y²) – y (x² + xy + y²)
= x³ + x²y + xy² – yx² – xy² – y³
= x³ + x²y – x²y + xy² – xy² – y³
= x³ – y³
= L.H.S.

प्रश्न 10.
निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखण्डन कीजिए
(i) 27y³ + 125z³
हल:
27y³ + 125z³
सर्वसमिका a + b = (a + b) (a² – ab + b²) । के अनुसार
यहाँ a = 3y तथा b = 5z
अर्थात् 27y³ + 125z³
= (3y)³ + (5z)³
= (3y + 5z) [(3y)² – (3y) (5z) + (5z)²]
= (3y + 5z) (9y² -15yz + 25z²)

(ii) 64m³ – 343n³
हल:
64m³ – 343n³
सर्वसमिका a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²) के अनुसार
यहाँ a = 4m तथा b = 7n
अर्थात् 64m³ – 343n³
= (4m)³ – (7n)³
= (4m – 7n) [(4m)² + (4m) (7n) + (7n)²]
= (4m – 7n) (16m² + 28mn + 49n²)

प्रश्न 11.
गुणनखण्डन कीजिए 27x³ + y + 2z³ – 9xyz.
हल:
27x³ + y + 2z³ – 9xyz
सर्वसमिका a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c) (a² + b² + c² – ab – bc – ca) के अनुसार
यहाँ a = 3x, b = y, c = 2
∴ 27x³ + y³ + z³ – 9xyz = (3x)³ + (y)³ + (2)³ – 3 (3x) (y) (3)
= (3x + y + z) [(3x)² + (y)² + (z)² – (3x) (y) – (y) (2) – (3x) (2)]
= (3x + y + z) (9x² + y² + z² – 3xy – yz – 3xz)

प्रश्न 12.
सत्यापित कीजिए x³ + y³ + z³ – 3xyz = 1/2(x + y + z)[(x – y)² + (y – z)² + (z – x)²]
हल:
x³ + y³ + z³ – 3xyz = 1/2(x + y + z)[(x – y)² + (y – z)² + (z – x)²]
R.H.S. = (x + y + z) [(x – y)² + (y – z)² + (z – x)²]
= 1/2(x + y + c) [x² + y² – 2xy + y² + z² – 2yz + z² + x² – 2xz]
= 1/2 (x + y + z) [2x² + 2y² + 2x² – 2xy – 2yz – 2rx]
= 1/2 (x + y + z).2 (x² + y² + z² – xy – yz – xz)
= 1/2 (x + y + z) (x² + y² + z² – zy – yz – xz)
∴ पाठ्यपुस्तक की सर्वसमिका VIII से
x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + 2) (x² + y² + z³ – xy – yz – yz) होता है।
अत: इसका मान = x³ + y³ + z³ – 3xyz. = L.H.S.

प्रश्न 13.
यदि x + y + z = 0 हो, तो दिखाइए कि x³ + y³ + z³ = 3xyz है।
हल:
प्रश्नानुसार x + y + z = 0 या x + y = – z ……………..(i)
दोनों पक्षों का घन (cube) करने पर
(x + y)³ = (-z)³
= x³ + y³ + 3xy (x + y) = -z³
= x³ + y³ + 3xy (-z) = -z³ [∵ x + y = – z (i) से]
= x³ + y³ – 3xy = -z³
= x³ + y³ + z = 3xyz. (इतिसिद्धम् )

प्रश्न 14.
वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए
(i) (- 12)³ + (7)³ + (5)³
हल:
(- 12)³ + (7)³ + (5)³ माना कि a = – 12, b = 7 तथा c = 5
सर्वसमिका के अनुसार यदि a + b + c = 0 तब a³ + b³ + c³ = 3abc
∴ a + b + c = – 12 + 7 + 5 = 0
∴ (-12)³ + (7)³ + (5)³ = 3 (- 12) (7) (5)
= – 1260

(ii) (28)³ + (- 15)³ + (- 13)³
हल:
(28) + (- 15) + (- 13)3 माना कि a = 28, b = – 15 तथा c = – 13
सर्वसमिका के अनुसार यदि a + b + c = 0 तब a³ + b³ + c³ = 3abc
∴ a + b + c = 28 – 15 – 13 = 0
∴ (28) + (- 15) + (- 13) = 3 . (28) (- 15) (- 13)
= 16380

प्रश्न 15.
नीचे दिए गए आयतों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं, में से प्रत्येक की लम्बाई और चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिएक्षेत्रफल :
(i) क्षेत्रफल : 25a² – 35a + 12
हल:
क्षेत्रफल : 25a² – 35a + 12
अर्थात् लम्बाई x चौड़ाई = 25a² – 35a + 12
= 25a² – 15a – 20a + 12
= 5a (5a – 3) -4 (5a-3)
= (5a – 4) (5a – 3)
∴ (i) यदि लम्बाई (5a – 4) तो चौड़ाई (5a -3) होगी।

(ii) क्षेत्रफल : 35y² + 13y – 12
हल:
यदि लम्बाई (5a – 3) तो चौड़ाई (5a – 4) होगी।

प्रश्न 16.
घनाभों (cuboids), जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं, की विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्या हैं ?
(i) आयतन : 3x² – 12x
हल:
प्रश्नानुसार आयतन : 3x² – 12x
अर्थात् लम्बाई x चौड़ाई x ऊँचाई = 3x (x – 4)
∴ घनाभ की विमाओं के लिए संभव व्यंजक
= 3, x और x – 4 हैं।

(ii) आयतन : 12ky² + 8ky – 20k
हल:
प्रश्नानुसार आयतन : 12ky² + 8ky – 20k अर्थात् लम्बाई x चौड़ाई x ऊँचाई ।
= 4k (3y² + 2y -5)
= 4k [3y² + 5y – 3y – 5]
= 4k [y (3y + 5) – 1 (3y + 5)]
= 4k [(3y + 5) (y – 1)] या लम्बाई x चौड़ाई x ऊँचाई
= 4k (3y + 5) (y – 1)
∴ घनाभ की विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्रमशः 4k, (3y + 5) तथा (y – 1) हैं।