Chapter 2 संबंध एवं फलन विविध प्रश्नावली

Chapter 2 संबंध एवं फलन विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.

दर्शाइए कि क्यों है एक फलन है और g फलन नहीं है।
हल:
(i) दिए गए अंतराल 0 ≤ x ≤ 3 में, f(x) = x² जो कि पूर्णतया परिभाषित है। इस प्रकार अन्तराल 3 ≤ x ≤ 10 में f(x) = 3x भी पूर्णतया परिभाषित है। x = 3, हो, तब x² = 9, और 3x = 9.
अत f(3) = 9
इस प्रकार f एक फलन है।
(ii) अंतराल 0 ≤ x ≤ 2 में g(x) = x² जो कि पूर्णतया परिभाषित है।
अंतराल 2 ≤ x ≤ 10 में g(x) = 3x पूर्णतया परिभाषित है।
x = 2 पर x² = 4 और 3x = 6
x = 2 पर g(x) के दो मान हैं।
अतः संबंध g एक फलन नहीं है।

प्रश्न 2.
यदि f(x) = x² तो f(1.1)−f(1)1.1−1 ज्ञात कीजिए।
हल:
f(x) = x²
∴ f(1.1) = (1.1)² = 1.21, और f(1) = 1² = 1

प्रश्न 3.
फलन f(x) = x2+2x+1x2−8x+12 का प्रान्त ज्ञात कीजिए।
हल:

x = 2 और x = 6 पर परिभाषित नहीं है।
अतः फलन का प्रान्त संख्याओं 6 और 2 को छोड़कर शेष वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

प्रश्न 4.
f(x) = x−1−−−−−√ द्वारा परिभाषित वास्तविक फलन का प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिए।
हल:
f(x) = x−1−−−−−√
यदि x – 1 < 0 या x < 1, फलन परिभाषित नहीं है।
फलन का प्रांत = {x : x ϵ R, x ≥ 1) = [1, ∞)
(ii) मान लीजिए y = x−1−−−−−√ या y² = x – 1 या x = 1 + y²
अतः फलन का परिसर = {y : y ϵ R, Y ≥ 0} = [0, ∞).

प्रश्न 5.
f(x) = |x – 1| द्वारा परिभाषित वास्तविक फलन का प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिए।
हल:
f(x) = |x – 1|
x के सभी वास्तविक मूल्यों के लिए फलन परिभाषित है
f का प्रांत = R
f(x) = |x – 1|, f का मान जब x ϵ R, एक धनात्मक संख्या है।
अतः f का परिसर = ऋणेत्तर वास्तविक संख्याएँ।

प्रश्न 6.
मान लीजिए कि f = {(x,x21+x2):x∈R} R से R में एक फलन है।। f का परिसर निर्धारित कीजिए।
हल:
माना f(x) = x21+x2 या y + yx² = x² या x² – x²y = y या x² (1 – y) = y तब x² = y1−y
⇒ y ≠ 1
x की सभी वास्तविक मूल्यों के लिए y ≥ 0
f का अंश हर से सदैव कम है, y ≤ 1
∴ f का परिसर = कोई भी धन वास्तविक संख्या इस प्रकार कि 0 ≤ x ≤ 1.

प्रश्न 7.
मान लीजिए कि f, g : R → R क्रमशः f(x) = x + 1, g(x) = 2x – 3 द्वारा परिभाषित है। f + g, f – g और fg ज्ञात कीजिए।
हल:
f(x) = x + 1, g(x) = 2x -3
(f + g) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2x – 3 = 3x – 2.
(f – g) (x) = f(x) – g(x) = (x + 1) – (2x – 3) = x + 1 – 2x + 3 = – x + 4.

प्रश्न 8.
मान लीजिए कि f = {(1, 1), (2, 3), (0, -1), (-1, -3)} Z से Z में, f(x) = ax + b, द्वारा परिभाषित एक फलन है, जहाँ a, b कोई पूर्णांक हैं। a, b को निर्धारित कीजिए।
हल:
दिया है : f = {(1, 1). (2, 3), (0, -1), (- 1, -3)}
और f(x) = ax + b …(A)
जब x = 1, y = 1, हो तब a + b = 1 …(i)
और जब x = 2, y = 3, 2a + b = 3 …(ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
a = 2, b = -1
a तथा b के इन मानों को समीकरण (A) में रखने पर,
f(x) = 2x – 1
जब x = 0, f(x) = -1
और जब x = – 1, f(x) = – 3
अतः f(x) = 2x – 1
तथा a = 2, b = – 1.

प्रश्न 9.
R = {(a, b) : a, b ϵ N तथा a = b²} द्वारा परिभाषित N से N में, एक संबंध R है। क्या निम्नलिखित कथन सत्य है।
(i) {a, a} ϵ R सभी a ϵ N
(ii) (a, b) ϵ R का तात्पर्य है कि (b, a) ϵ R
(ii) (a, b) ϵ R, (b, c) ϵ R का तात्पर्य है कि (a, c) ϵ R? प्रत्येक दशा में अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
हल:
(i) a = a यह सत्य है जब a = 0. 0 ∉ N,
अत: यह एक संबंध नहीं है।
(ii) a = b², और b = a², यह a, b ϵ N, a, b के सभी मूल्यों के लिए सत्य नहीं है। अत: यह एक संबंध नहीं है।
(iii) जब a = b², b = c² तब a ≠ c²
∴ यह संबंध नहीं है।

प्रश्न 10.
मान लीजिए A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 5, 9, 11, 15, 16} और f= {(1, 5), (2, 9), (3, 1), (4, 5), (2, 11)}, क्या निम्नलिखित कथन सत्य है ?
(i) f, A से B में एक संबंध है।
(ii) f, A से B में एक फलन है। प्रत्येक दशा में अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
हल:
(i) दिया है: A = {1, 2, 3, 4} तथा B = {1, 5, 9, 11, 15, 16}
∴ A × B = {(1, 1), (1, 5), (1, 9), (1, 11), (1, 15), (1, 16), (2, 1), (2, 5), (2, 9), (2, 11), (2, 15), (2, 16), (3, 1), (3, 5), (3, 9), (3, 11), (3, 15), (3,16), (4, 1), (4, 5), (4, 9), (4, 11), (4, 15), (4, 16)}
अवयव , A × B का उपसमुच्चय है।
अतः यह एक संबंध है।
(ii) f में (2, 9) और (2, 11) अवयव प्रथम घटक दोनों युग्मों में 2 है।
∴ यह फलन नहीं है।

प्रश्न 11.
मान लीजिए कि f, f= {{ab, a + b); a, b ϵ Z द्वारा परिभाषित Z × Z का एक उपसमुच्चय है। क्या f, Z से Z में एक फलन है ? अपने उत्तर का औचित्य भी स्पष्ट कीजिए।
हल:
मान लीजिए a = 0, b = 1 हो, तब
ab = 0 और a + b = 0 + 1 = 1
पुनः माना a = 0, b = 2 हो, तब
ab = 0, a + b = 2
अवयव 0 के दो प्रतिबिंब 1 और 2 हैं।
अतः f एक फलन नहीं है।

प्रश्न 12.
मान लीजिए कि A= {9, 10, 11, 12, 13} तथा f : A → N ,f(n) = n का महत्तम अभाज्य गुणक द्वारा परिभाषित है। का परिसर ज्ञात करो।
हल:
यदि n = 9 = 3 × 3 तो 3 इन गुणनखंडों में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है।
n = 10 = 2 × 5 तो 5 इन गुणनखंडों में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है।
n = 11 = 1 × 11 तो 11 इन गुणनखंडों में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है।
n = 12 = 2² × 3 तो 3 इन गुणनखंडों में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है।
n = 13 = 1 × 13 तो 13 इन गुणनखंडों में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है।
अतः f का परिसर = {3, 5, 11, 13}.