Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.7

प्रश्न 1.
दो मित्रों अनी और बीजू की आयु में 3 वर्ष का अन्तर है। अनी के पिता धरम की आयु अनी की आयु की दुगनी और बीज की आयु अपनी बहन कैथी की आयु की दुगुनी है। कैथी और धरम की आयु का अन्तर 30 वर्ष है। अनी और बीजू की आयु ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि अनी की आयु = x वर्ष
और बीजू की आयु = y वर्ष
धरम की आयु = 2x वर्ष

पहली शर्त के अनुसार,
(अनी की आयु) – (बीजू की आयु) = 3
x – y = 3 …….(1)
दूसरी शर्त के अनुसार,
(धरम की आयु) – (कैथी की आयु) = 30

x के इस मान को (1) में प्रतिस्थापित करने पर
19 – y = 3
या -y = 3 – 19
या -y = – 16
या y = 16
अतः, अनी की आयु = 19 वर्ष
बीजू की आयु = 16 वर्ष

प्रश्न 2.
एक मित्र दूसरे से कहता है कि ‘यदि मुझे एक सौ दे दो, तो मैं आपसे दो गुना धनी बन जाऊँगा।’ दूसरा उत्तर देता है ‘यदि आप मुझे दस दे दें, तो मैं आपसे छः गुना धनी बन जाऊँगा।’ बताइए कि उनकी क्रमशः क्या सम्पत्तियाँ हैं? [भास्कर II की बीजगणित से]
[संकेत : x + 100 = 2(y – 100), y + 10 = 6(x – 10)]
हल-
माना कि एक मित्र की पूँजी = x रु.
दूसरे मित्र की पूँजी = y रु.
पहली शर्त के अनुसार,
x + 100 = 2(y – 100)
या x + 100 = 2y – 200
या x – 2y = -200 – 100
या x – 2y = -300 ……(1)
दूसरी शर्त के अनुसार,
y + 10 = 6(x – 10)
या y + 10 = 6x – 60
या 6x – y = 10 + 60
या 6x – y = 70 …….(2)
समीकरण (1) को 6 से गुणा करने पर
6x – 12y = -1800 ……(3)
समीकरण (3) में से (2) घटाने पर

y को (2) से गुणा करने पर
6x – 170 = 70
या 6x = 70 + 170
या 6x = 240
या x = 40
अतः, उनकी पूँजी क्रमशः 40 रु. और 170 रु. है।

प्रश्न 3.
एक रेलगाड़ी कुछ दूरी समान चाल से तय करती है। यदि रेलगाड़ी 10 km/h अधिक तेज चलती होती, तो उसे नियत समय से 2 घण्टे कम लगते और यदि रेलगाड़ी 10 km/h धीमी चलती होती, तो उसे नियत समय से 3 घण्टे अधिक लगते। रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
हल-
मान लीजिए रेलगाड़ी की चाल = x किमी/घण्टा
और रेलगाड़ी द्वारा लिया गया समय = y घण्टे
गाड़ी द्वारा तय की गई दूरी = (चाल) × (समय) = (xy) किमी.
पहली शर्त के अनुसार,
(x + 10)(y – 2) = xy
या xy – 2x + 10y – 20 = xy
या -2x + 10y – 20 = 0
या x – 5y + 10 = 0 ……(1)
दूसरी शर्त के अनुसार,
(x – 10)(y + 3) = xy
या xy + 3x – 10y – 30 = xy
या 3x – 10y – 30 = 0 …….(2)
समीकरण (1) को 3 से गुणा करने पर
3x – 15y + 30 = 0 …….(3)
समीकरण (3) में से (2) घटाने पर

y के इस मान को (1) में प्रतिस्थापित करने पर
x – 5 × 12 + 10 = 0
x – 60 + 10 = 0
x – 50 = 0
x = 50
∴ रेलगाड़ी की चाल = 50 किमी./घण्टा
रेलगाड़ी द्वारा लिया गया समय = 12 घण्टे
अतः रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी = (50 × 12) किमी. = 600 किमी.

प्रश्न 4.
एक कक्षा के विद्यार्थियों को पंक्तियों में खड़ा होना है। यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी अधिक होते, तो 1 पंक्ति कम होती। यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी कम होते, तो 2 पंक्तियाँ अधिक बनतीं। कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि प्रत्येक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या = x
और पंक्तियों की संख्या = y
कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या = xy
पहली शर्त के अनुसार
(x + 3)(y – 1) = xy
या xy – x + 3y – 3 = xy
या -x + 3y – 3 = 0
या x – 3y + 3 = 0 ……..(1)
दूसरी शर्त के अनुसार
(x – 3)(y + 2) = xy
या xy + 2x – 3y – 6 = xy
या 2x – 3y – 6 = 0 …….(2)
समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर

x को (1) में प्रतिस्थापित करने पर
9 – 3y + 3 = 0
या -3y + 12 = 0
या -3y = -12
या y = 4
∴ प्रत्येक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या = 9
और पंक्तियों की संख्या = 4
अतः, कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या = 9 × 4 = 36

प्रश्न 5.
एक ∆ABC में, ∠C = 3 ∠B = 2(∠A + ∠B) है। त्रिभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए।
हल-
एक ∆ABC में
∠C = 3∠B = 2(∠A + ∠B)
I            II            III
II और III से
3∠B = 2(∠A + ∠B)
या 3∠B = 2∠A + 2∠B
या 3∠B – 2∠B = 2∠A
या ∠B = 2∠A …….(1)
पुनः I और II से
∠C = 3∠B
या ∠C = 3(2∠A) …[(1) का प्रयोग करने पर]
या ∠C = 6∠A ……(2)
त्रिभुज के तीनों कोणों का योगफल 180° होता हैं
∠A + ∠B + ∠C = 180°
या ∠A + 2∠A + 6∠A = 180°
9∠A = 180°
∠A = 20°
∴ ∠A = 20°;
∠B = 2 × 20° = 40°;
∠C = 6 × 20° = 120°
अतः त्रिभुज के तीनों कोण क्रमशः 20°, 40° तथा 120° हैं।

प्रश्न 6.
समीकरणों 5x – y = 5 और 3x – y = 3 के ग्राफ खींचिए। इन रेखाओं और y-अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। इस प्रकार बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का परिकलन कीजिए।
हल-
दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :
5x – y = 5 और 3x – y = 3
या 5x – y = 5
या 5x = 5 + y

बिन्दुओं A(1, 0); B(0, -5); C(2, 5) को ग्राफ पर आलेखित करने पर हमें समीकरण 5x – y = 5 की रेखा प्राप्त होती है।
और 3x – y = 3
या 3x = 3 + y

बिन्दुओं A(1, 0); D(0, -3); E(2, 3) को ग्राफ पेपर आलेखित करने पर हमें समीकरण 3x – y = 3 की रेखा प्राप्त होती है :
ग्राफ से स्पष्ट है कि दी गई रेखाएँ A(1, 0) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
इन रेखाओं और y-अक्ष से बनी ∆ABD को छायांकित किया गया है।
∆ABD के शीर्षों के निर्देशांक हैं : A(1, 0); B(0, -5) और D(0, -3)

प्रश्न 7.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए :
(i) px + qy = p – q
qx – py = p + q
हल-
दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :
px + qy = p – q ……(1)
और qx – py = p + q ……(2)
(1) को 4 से और (2) को p से गुणा करने पर

y के इस मान को (1) में प्रतिस्थापित करने पर
px + q (-1) = p – q
या px – q = p – 4
या px = p – q + q
या px = p
या x = 1
अतः, x = 1 और y = -1

(ii) ax + by = c
bx + ay = 1 + c
हल-
दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :
ax + by = c
और bx + ay = 1 + c
या ax + by – c = 0
और bx + ay – (1 + c) = 0



या bx – ay = 0 ……(1)
और ax + by = a2 + b2
या ax + by – (a2 + b2) = 0 …….(2)

अतः, x = a और y = b

(iv) (a – b)x + (a + b)y = a2 – 2ab – b2
(a + b) (x + y) = a2 + b2
हल-
दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :
(a – b)x + (a + b)y = a2 – 2ab – b2
या ax – bx + ay + by = a2 – 2ab – b2 …….(1)
और (a + b) (x + y) = a2 + b2
या ax + bx + ay + by = a2 + b2 …….(2)
समीकरण (1) में से (2) घटाने पर

x के इस मान को (1) में प्रतिस्थापित करने पर
(a – b) (a + b) + (a + b)y = a2 – 2ab – b2
या a2 – b2 + (a + b) y = a2 – 2ab – b2
या (a + b)y = a2 – 2ab – b2 – a2 + b2
या (a + b)y = -2ab

(v) 152x – 378y = -74
-378x + 152y = -604
हल-
दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :
152x – 378y = -74 ……(1)
-378x + 152y = -604 ……(2)
समीकरण (1) व समीकरण (2) को जोड़ने पर
-226x – 226y = -678
⇒ -226(x + y) = -678
⇒ x + y = 3 ……(3)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर
(152x + 378x) – 378y – 152y = -74 – (-604)
⇒ 530x – 530y = -74 + 604 = 530
⇒ 530(x – y) = 530
⇒ x – y = 1 ……(4)
समीकरण (3) में समीकरण (4) को जोड़ने पर
x + y + x – y = 3 + 1
या 2x = 4
x = 2
x = 2 समीकरण (3) में रखने पर
x + y = 3
⇒ 2 + y = 3
⇒ y = 3 – 2 = 1
⇒ y = 1
अतः समीकरण के अभीष्ट हल x = 2 और y = 1 होगा।

प्रश्न 8.
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। देखिए आकृति। इस चक्रीय चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।

हल-
दिया गया चित्र ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
हम जानते हैं कि चक्रीय चतुर्भुज के आमने-सामने के कोणों का योग 180° के बराबर होता है।
∴ ∠A + ∠C = 180° ……(1)
∠B + ∠D = 180° ……(2)
समीकरण (1) में मान रखने पर
4y + 20° – 4x = 180°
⇒ -4x + 4y = 160°
⇒ -x + y = 40° ……(3)
इसी तरह से
∠B + ∠D = 180°
⇒ 3y – 5° – 7x + 5° = 180°
⇒ -7x + 3y = 180° ……(4)
समीकरण (3) में 3 का गुणा करके समीकरण (4) में से घटाने पर

x का मान समीकरण (3) में रखने पर
-(-15°) + y = 40°
⇒ 15° + y = 40°
⇒ y = 40° – 15° = 25°
इस प्रकार चक्रीय चतुर्भुज के कोणों के मान होंगे
∴ ∠A = 4y + 20
= 4 × 25 + 20
= 100 + 2
= 120°
∴ ∠B = 3y – 5
= 3 × 25 – 5
= 75 – 5
= 70°
∴ ∠C = -4x
= -4 × (-15°)
= 60°
∴ ∠D = -7x + 5
= -7 × (-15°) + 5
= 105 + 5
= 110°

Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.7