Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण Ex 4.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित विकल्पों में कौनसा विकल्प सत्य है और क्यों?
y = 3x + 5 का
(i) एक अद्वितीय हल है
(ii) केवल दो हल हैं
(iii) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
हल:
प्रश्न में दिए गए विकल्पों में से (iii) ही सत्य है क्योंकि x के प्रत्येक मान के लिए का भी एक संगत मान होता है तथा विलोमतः भी।
अतः उपर्युक्त दिए गए समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

प्रमाणीकरण – (i) माना कि x = 0 तो
y = 3.0 + 5
⇒ y = 0 + 5
⇒ y = 5
अतः इस समीकरण का एक हल x = 0, y = 5 है

(ii) माना कि x = 1 हो तो
y = 3.1 +5
⇒ y = 3 + 5
⇒ y = 8
अतः इस समीकरण का एक हल x = 1, y = 8 भी है।

(iii) माना कि x = – 3 तो
y = 3. (-3) +5
⇒ y = -9 + 5
⇒ y = -4
अतः इस समीकरण का हल x = -3 व y = – 4 भी है।
इसी प्रकार यह कहा जा सकता है कि x या y के विभिन्न मान प्रतिस्थापित करके उसके संगत y या x का मान ज्ञात कर दी गई समीकरण के अपरिमित हल प्राप्त कर सकते हैं।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक समीकरण के चार हल लिखिए
(i) 2x + y = 7
हल:
प्रश्नानुसार 2x + y = 7
या y = 7 – 2x
यदि x = 0 हो तो y = 7 – 2.0 = 7 – 0 = 7
जब x = 1 हो तो y = 7 – 2.1 = 7 – 2 = 5
जब x = 2 हो तो y = 7 – 2.2 = 7 – 4 = 3
जब x = – 1 हो तो) = 7 – 2 . (- 1) = 7 + 2 = 9
अतः समीकरण 2x + 1 = 7 के अपरिमित रूप से अनेक हलों में से चार हल (0. 7), (1, 5), (2, 3) तथा (- 1, 9) हैं।

प्रश्न 3.
बताइए कि निम्नलिखित हलों में कौन-कौन समीकरण x – 2y = 4 के हल हैं और कौन-कौन हल नहीं हैं
(i) (0, 2)
हल:
प्रश्नानुसार दिए गए समीकरण में (0, 2) अर्थात् x = 0 तथा y = 2 रखने पर
∴ L.H.S. = x – 2y
= 0 – 2 . (2)
= -4 ≠ R.H.S.
∴ x = 0 तथा y = 2 समीकरण x – 2y = 4 का हल नहीं है।

(ii) (2, 0)
हल:
प्रश्नानुसार दिए गए समीकरण में (2, 0) अर्थात् x = 2 तथा y = 0 रखने पर
∴ L.H.S. = x – 2y
= 2 – 2.0
= 2 ≠ R.H.S.
∴ x = 2 तथा y = 0 समीकरण x – 2y = 4 का हल नहीं है।

(iii) (4, 0)
हल:
प्रश्नानुसार दिए गए समीकरण में (4,0) अर्थात् x = 4 एवं y = 0 रखने पर
∴ L.H.S. = x – 2y
= 4 – 2.0
= 4 ≠ R.H.S.
∴ x = 4 तथा y = 0 समीकरण x – 2y = 4 का हल है।

(iv) (√2, 4√2)
हल:
प्रश्नानुसार दिए गए समीकरण में (√2, 4√2) अर्थात् x = 2 तथा y = 4√2 रखने पर
L.H.S. = x – 2y
= √2 – 2 . 4√2
= √2 – 8√2
= -7√2 ≠ R.H.S.
∴ x = √2 तथा y = 4√2 समीकरण x – 2y = 4 का हल नहीं है।

(v) (1, 1)
हल:
प्रश्नानुसार दिए गए समीकरण में (1, 1) अर्थात् x = 1 तथा y = 1 रखने पर
L.H.S. = x – 2y
= 1 – 2.1
= -1 ≠ R.H.S.
∴ x = 1 तथा y = 1 समीकरण x – 2y = 4 का हल नहीं है।

प्रश्न 4.
k का मान ज्ञात कीजिए जबकि x = 2, y = 1 समीकरण 2x + 3y = k का एक हल हो।
हल:
यदि x = 2 तथा y = 1 समीकरण 2x + 3y = k का एक हल है तो ये मान रखने पर अवश्य ही समीकरण सन्तुष्ट होगा
अर्थात् 2x + 3y = k
k = 2x + 3y
= 2 . (2) + 3 (1)
= 4 + 3
=7 अत: k का अभीष्ट मान 7 है।

Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण Ex 4.2