Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4

प्रश्न 1.
A.P. : 121, 117, 113, …. का कौनसा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा? [संकेत : a_n < 0 के लिए n ज्ञात कीजिये।]
हल-
प्रश्नानुसार A.P. : 121, 117, 113, …..
यहाँ a = a₁ = 121, a₂ = 117, a₃ = 113, …..
d = a₂ – a₁
= 117 – 121
= -4
∵ a_n = a + (n – 1)d
= 121 + (n – 1) (-4)
= 121 – 4n + 4
= 125 – 4n
a_n < 0
या 125 – 4n < 0
या 4n > 125
या 125 > 4n

या n > 31.25
या n < 32
क्योंकि n एक पूर्णांक है।
परन्तु पहले ऋणात्मक पद के लिए n एक पूर्णांक होगा।
∴ n = 32
अतः, दी गई A.P. का 32वाँ पद पहला ऋणात्मक पद होगा।

प्रश्न 2.
किसी A.P. के तीसरे और सातवें पदों का योग 16 है और उनका गुणनफल 8 है। इस A.P. के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल-
मान लीजिए ‘a’ और ‘d’ दी गई A.P. का प्रथम पद और सार्व अन्तर है।
पहली शर्त के अनुसार,
a₃ + a₇ = 6
[a + (3 – 1)d] + [a + (7 – 1)d] = 6 [∵ a_n = a + (n – 1)d]
या a + 2d + a + 6d = 6
या 2a + 8d = 6
या a + 4d = 3 ……(1)
दूसरी शर्त के अनुसार,
a₃(a₇) = 8
या [a + (3 – 1)d] [a + (7 – 1)d] = 8 [∵ a_n = a + (n – 1)d]
या (a + 2d) (a + 6d) = 8
या [3 – 4d + 2d] [3 – 4d + 6d] = 8 [∵ (1) से a = 3 – 4d]
या (3 – 2d) (3 + 2d) = 8
या 9 – 4d² = 8
या 4d² = 9 – 8 = 1

अतः 16 पदों का योगफल = 20

प्रश्न 3.

हल-

= 250 सेमी.
और दो क्रमागत डण्डों के बीच की दूरी = 25 सेमी.
∴ सीढ़ी में डण्डों की संख्या

∵ प्रथम डण्डे की लम्बाई (a) = 25 सेमी.
और अन्तिम डण्डे की लम्बाई (l) = 45 सेमी.

= 11 × 35
= 385 सेमी.
= 3.85 मीटर
अतः सीढी के डण्डों में प्रयुक्त लकडी की लम्बाई = 385 सेमी. = 3.85 मीटर

प्रश्न 4.
एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या 1 से 49 तक अंकित किया गया है। दर्शाइए कि x का एक ऐसा मान है कि x से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर है। x का मान ज्ञात कीजिए। [संकेत : S_x-1 = S₄₉ – S_x है।]
हल-
मान लीजिए ‘x’ किसी मकान की संख्या को व्यक्त करता है।
यहाँ a = a₁ = 1; d = 1
प्रश्न के अनुसार,