Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण विविध प्रश्नावली

Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.

हल:

= (- 2 + 3i – i)
= – (- 2 + 2i) = 2 – 2i.

प्रश्न 2.
किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं z₁ और z₂ के लिए सिद्ध कीजिए:
Re(z₁z₂) = Rez₁ Rez₂ – Imz₁ Imz₂
हल:
मान लीजिए z₁ = a + ib, z₂ = c + id
∴ z₁z₂ = (a + ib)(c + id)
= ac + adi + bci + i²bd
= (ac – ba) + (ad + bc) i [∴ i² = – 1]
Re (z₁z₂) का वास्तविक भाग = ac – bd
= Rez₁ Rez₂ – Imz₁ Imz₂
यहाँ पर Rez₁ का वास्तविक भाग = a, इसी प्रकार Rez₂ = c
Imz₁ = z₁ का काल्पनिक भाग = b
इसी प्रकार Imz₂ = d.

प्रश्न 3.

हल:

प्रश्न 4.

प्रश्न 5.
निम्नलिखित को ध्रुवीय रूप में परिवर्तित कीजिए:

इल:
(i) माना.

∴ r cos θ = -1, r sin θ = 1
वर्ग करके जोड़ने करने पर r² cos²θ + r^{2 2}θ = 1 + 1
या r²(cos²θ + sin²θ ) = 2 या r² = 2 या r = 2–√
cos θ = ऋणात्मक, sin θ = धनात्मक
∴ 0 दूसरे चतुर्थांश में है।


हल:
मान लिया

प्रश्न 6 से 9 में दिए गए प्रत्येक समीकरण को हल कीजिए:
प्रश्न 6.
3x² 4x + 20/3 = 0.
हल:
3x² 4x + 20/3 = 0 को 3 से गुणा करने पर
9x² – 12x + 20 = 0
इसकी ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर,
a = 9, b = – 12, c = 20

प्रश्न 7.
x² – 2x + 3/2 = 0.
हत्त:
x² – 2x + 3/2 = 0, इसे 2 से गुणा करने पर .
2x² – 4x + 3 = 0
ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर

प्रश्न 8.
27x² – 10x + 1 = 0.
हल:
दिए गए समीकरण 27x² – 10 x + 1 = 0 की ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर a = 27, b = -10, c = 1

प्रश्न 9.
21x² – 28x + 10 = 0.
हल:
21x² – 28x + 10 = 0 की ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर
a = 21, b = – 28, c = 10

प्रश्न 10.

हल:

प्रश्न 11.

प्रश्न 12.
यदि z₁ = 2 – i, z₂ = – 2 + i, निम्न का मान ज्ञात कीजिए :

हल:
(i)

प्रश्न 13.

हल:
माना

दोनों पक्षों की तुलना करने पर,
⇒ r cosθ = – 1/2, r sinθ = 1/2
वर्ग करके जोड़ने पर,


प्रश्न 14.
यदि (x−iy)(3+5i),−6−24i की संयुग्मी है तो वास्तविक संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए।
हल:

(x – iy) (3 + 5i) = (3x – 5yi<sup.2 + 5xi – 3yi)
= 3x + 5y + (5x – 3y)i ……(2)
समीकरण (1) और (2) से,
3x + 5y + (5x – 3y)i = – 6 + 24i
वास्तविक व काल्पनिक संख्याओं को समान लिखते हुए
3x + 5y = – 6 …..(3)
5x – 3y = 24 ……(4)
समी. (3) को 3 से और समी. (4) को 5 से गुणा करने पर
9x + 15y = – 18 ….(5)
25x – 15y = 120 ….(6)
समी. (5) और समी (6) को जोड़ने पर,
34x = 102 या x = 102/34 = 3
x का मान समी. (3) में रखने पर,
9+ 5y = – 6 या 5y = – 15, या y = – 3
अतः x = 3, y = – 3.

प्रश्न 15.

हल:

प्रश्न 16.

हल:

प्रश्न 17.

हल:

प्रश्न 18.
समीकरण |1−i|^x =2^x के शून्येत्तर पूर्णांक मूलों की संख्या ज्ञात कीजिए:
हल:

इस समीकरण का 0 के अतिरिक्त और कोई हल नहीं हो सकता।

प्रश्न 19.
यदि (a + ib)(c + id) (e + if)(g + ih) = A+iB है तो दर्शाइए कि (a² + b²) (c² + d²) (e² + f²) (g² + h²) = A² + B².
हल:
(a + ib) (c + id) (e + if)(g + ih) = A + iB ….(1)
i के स्थान पर – i रखने पर,
(a – ib) (c – id) (e – if)(g – ih) = A – iB …..(2)
समी (1) और (2) को गुणा करने पर,
[(a + ib) (a – ib)] [(c + id) (c – id)] [(e + if)(e – if)][(g + ih)(g – ih)] = (A + iB)(A – iB)

प्रश्न 20.

11 1111
= 1+2+21
हल:

⇒ m संख्या 4 का गुणज है।
∴ m की कम से कम मूल्य = 4.