Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.

हल:

= (- 2 + 3i – i)
= – (- 2 + 2i) = 2 – 2i.

प्रश्न 2.
किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं z1 और z2 के लिए सिद्ध कीजिए:
Re(z1z2) = Rez1 Rez2 – Imz1 Imz2
हल:
मान लीजिए z1 = a + ib, z2 = c + id
∴ z1z2 = (a + ib)(c + id)
= ac + adi + bci + i2bd
= (ac – ba) + (ad + bc) i [∴ i2 = – 1]
Re (z1z2) का वास्तविक भाग = ac – bd
= Rez1 Rez2 – Imz1 Imz2
यहाँ पर Rez1 का वास्तविक भाग = a, इसी प्रकार Rez2 = c
Imz1 = z1 का काल्पनिक भाग = b
इसी प्रकार Imz2 = d.

प्रश्न 3.

हल:
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प्रश्न 4.

प्रश्न 5.
निम्नलिखित को ध्रुवीय रूप में परिवर्तित कीजिए:

इल:
(i) माना.
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∴ r cos θ = -1, r sin θ = 1
वर्ग करके जोड़ने करने पर r2 cos2θ + r2 2θ = 1 + 1
या r2(cos2θ + sin2θ ) = 2 या r2 = 2 या r = 2–√
cos θ = ऋणात्मक, sin θ = धनात्मक
∴ 0 दूसरे चतुर्थांश में है।


हल:
मान लिया
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प्रश्न 6 से 9 में दिए गए प्रत्येक समीकरण को हल कीजिए:
प्रश्न 6.
3x2 4x + 20/3 = 0.
हल:
3x2 4x + 20/3 = 0 को 3 से गुणा करने पर
9x2 – 12x + 20 = 0
इसकी ax2 + bx + c = 0 से तुलना करने पर,
a = 9, b = – 12, c = 20
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प्रश्न 7.
x2 – 2x + 3/2 = 0.
हत्त:
x2 – 2x + 3/2 = 0, इसे 2 से गुणा करने पर .
2x2 – 4x + 3 = 0
ax2 + bx + c = 0 से तुलना करने पर
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प्रश्न 8.
27x2 – 10x + 1 = 0.
हल:
दिए गए समीकरण 27x2 – 10 x + 1 = 0 की ax2 + bx + c = 0 से तुलना करने पर a = 27, b = -10, c = 1
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प्रश्न 9.
21x2 – 28x + 10 = 0.
हल:
21x2 – 28x + 10 = 0 की ax2 + bx + c = 0 से तुलना करने पर
a = 21, b = – 28, c = 10

प्रश्न 10.

हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण विविध प्रश्नावली img-12

प्रश्न 11.

प्रश्न 12.
यदि z1 = 2 – i, z2 = – 2 + i, निम्न का मान ज्ञात कीजिए :

हल:
(i)
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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण विविध प्रश्नावली img-15

प्रश्न 13.

हल:
माना

दोनों पक्षों की तुलना करने पर,
⇒ r cosθ = – 1/2, r sinθ = 1/2
वर्ग करके जोड़ने पर,
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प्रश्न 14.
यदि (xiy)(3+5i),−6−24i की संयुग्मी है तो वास्तविक संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए।
हल:

(x – iy) (3 + 5i) = (3x – 5yi<sup.2 + 5xi – 3yi)
= 3x + 5y + (5x – 3y)i ……(2)
समीकरण (1) और (2) से,
3x + 5y + (5x – 3y)i = – 6 + 24i
वास्तविक व काल्पनिक संख्याओं को समान लिखते हुए
3x + 5y = – 6 …..(3)
5x – 3y = 24 ……(4)
समी. (3) को 3 से और समी. (4) को 5 से गुणा करने पर
9x + 15y = – 18 ….(5)
25x – 15y = 120 ….(6)
समी. (5) और समी (6) को जोड़ने पर,
34x = 102 या x = 102/34 = 3
x का मान समी. (3) में रखने पर,
9+ 5y = – 6 या 5y = – 15, या y = – 3
अतः x = 3, y = – 3.

प्रश्न 15.

हल:

प्रश्न 16.

हल:
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प्रश्न 17.

हल:

प्रश्न 18.
समीकरण |1−i|x =2x के शून्येत्तर पूर्णांक मूलों की संख्या ज्ञात कीजिए:
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण विविध प्रश्नावली img-22
इस समीकरण का 0 के अतिरिक्त और कोई हल नहीं हो सकता।

प्रश्न 19.
यदि (a + ib)(c + id) (e + if)(g + ih) = A+iB है तो दर्शाइए कि (a2 + b2) (c2 + d2) (e2 + f2) (g2 + h2) = A2 + B2.
हल:
(a + ib) (c + id) (e + if)(g + ih) = A + iB ….(1)
i के स्थान पर – i रखने पर,
(a – ib) (c – id) (e – if)(g – ih) = A – iB …..(2)
समी (1) और (2) को गुणा करने पर,
[(a + ib) (a – ib)] [(c + id) (c – id)] [(e + if)(e – if)][(g + ih)(g – ih)] = (A + iB)(A – iB)
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प्रश्न 20.

11 1111
= 1+2+21
हल:

⇒ m संख्या 4 का गुणज है।
∴ m की कम से कम मूल्य = 4.

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