Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths

प्रश्न 1.
प्रमाणित कीजिए कि  5-\sqrt { 3 }  एक अपरिमेय संख्या है।
हल:
5-\sqrt { 3 }  एक अपरिमेय संख्या के विपरीत मान लें कि 5-3 एक परिमेय संख्या है, तो इस प्रकार के दो सह-अभाज्य पूर्णांक a और b विद्यमान होंगे कि

यह इस तथ्य का विरोध करता है कि 3 एक अपरिमेय संख्या है। अतः प्रारम्भ में ली गई परिकल्पना गलत है।
अतः  5-\sqrt { 3 }  एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय संख्याएँ हैं
(i)  \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } }
(ii)  6+\sqrt { 2 }
(iii)  3\sqrt { 2 }
हल:
(i) \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } }
प्रश्न में दिए गए कथन के विपरीत माना कि  \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } }  एक परिमेय संख्या है।
अंतः हम अविभाज्य पूर्णांक a और B (b ≠ 0) प्राप्त कर सकते हैं अर्थात्

क्योंकि दो पूर्णांकों का भागफल एक परिमेय संख्या होती है।
अतः  \frac { 2a }{ b }  = एक परिमेय संख्या
(i) से  \sqrt { 2 }  भी एक परिमेय संख्या है। परन्तु यह कथन असत्य है। अर्थात् हमारी कल्पना असत्य है। अतः  \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } }  एक अपरिमेय संख्या है। (इतिसिद्धम् )

(ii) 6+\sqrt { 2 }
माना कि  6+\sqrt { 2 }  एक परिमेय संख्या है। अतः हम ऐसी सह-अभाज्य संख्याएँ a और b (b ≠ 0) ज्ञात कर सकते हैं कि

चूँकि a तथा b पूर्णांक हैं अतः  \frac { a-6b }{ b }  भी एक पूर्णांक संख्या होगी क्योंकि पूर्णांकों की बाकी तथा पूर्णांकों का भाग भी पूर्णांक होता है। अर्थात्
RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 वास्तविक संख्याएँ Ex 2.3 4
परिमेय संख्या परन्तु यह कथन कि  \sqrt { 2 }  एक अपरिमेय संख्या होती है, का विरोधाभासी कथन है। अत: हमारी कल्पना असत्य है। अर्थात्  6+\sqrt { 2 }  एक अपरिमेय संख्या है।

(इतिसिद्धम्)

(iii) 3\sqrt { 2 }
माना कि दी गई संख्या  3\sqrt { 2 }  एक परिमेय संख्या है। अतः हम ऐसे दो पूर्णाक a और B (b ≠ 0) प्राप्त कर सकते हैं कि
RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 वास्तविक संख्याएँ Ex 2.3 5
चूँकि (i) में a, 3 और b सभी पूर्णांक हैं तथा दो पूर्णांकों का भाग भी एक परिमेय संख्या होती है। अर्थात्
\frac { a }{ 3b }  = एक परिमेय संख्या
अतः (i) से  \sqrt { 2 }  = एक परिमेय संख्या
जो कि कथन  3\sqrt { 2 }  एक अपरिमेय संख्या है, का विरोधाभासी कथन है। अर्थात् हमारी कल्पना असत्य है। अत:  3\sqrt { 2 }  एक अपरिमेय संख्या है।

(इतिसिद्धम् )

प्रश्न 3.
यदि p और q अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं, तो सिद्ध कीजिए कि  \sqrt { p } +\sqrt { q }  एक अपरिमेय संख्या है।
हल:
\left( \sqrt { p } +\sqrt { q } \right)  एक अपरिमेय संख्या के विपरीत यह मान लें कि
\left( \sqrt { p } +\sqrt { q } \right)  एक परिमेय संख्या है, तो इस प्रकार के दो सह-अभाज्य पूर्णांक a और b विद्यमान हैं, कि