Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths

प्रश्न 1.
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा निम्न द्विघात समीकरणों को हल कीजिए
(i) 3x2 – 5x + 2 = 0
(ii) 5x2 – 6x – 2 = 0
(iii) 4x2 + 3x + 5 = 0
(iv) 4x2 +  4\sqrt { 3 } x  + 3 = 0
(v) 2x2 + x – 4 = 0
(vi) 2x2 + x + 4 = 0
(vii) 4x2 + 4bx – (a2 – b2) = 0
हल:
(i) प्रश्नानुसार द्विघात समीकरण है-
3x2 – 5x + 2 = 0
या 3x2 – 5x = – 2
या  { x }^{ 2 }-\frac { 5 }{ 3 } x=-\frac { 2 }{ 3 }
(चूँकि पूर्ण वर्ग बनाने के लिए ” का गुणांक इकाई होना चाहिए)
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए दोनों पक्षों में x के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ते हैं।

(ii) प्रश्नानुसार द्विघात समीकरण है-
5x2 – 6x – 2 = 0
या 5x2 – 6x = 2
या  { x }^{ 2 }-\frac { 6 }{ 5 } x=\frac { 2 }{ 5 }
चूँकि पूर्ण वर्ग बनाने के लिए 2 का गुणांक इकाई होना चाहिए।
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए दोनों पक्षों में x के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ते हैं।

(iii) प्रश्नानुसार द्विघात समीकरण है-
4x2 + 3x + 5 = 0
या 4x2 + 3y = – 5
या  { x }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 4 } x=\frac { -5 }{ 4 }
चूँकि पूर्ण वर्ग बनाने के लिए? को गुणांक इकाई होना चाहिए।
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए दोनों पक्षों में x के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ते हैं।
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∵ किसी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता इसलिए  \left( x+\frac { 3 }{ 8 } \right) ^{ 2 }.x  के किसी भी वास्तविक मान के लिए ऋणात्मक नहीं हो सकता। इसलिए यहाँ x का कोई भी वास्तविक मान नहीं है जो दी गई द्विघात समीकरण को सन्तुष्ट करता हो।
अतः दिये गये समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं है। अतः समीकरण के मूलों का अस्तित्व नहीं है। उत्तर

(iv) प्रश्नानुसार द्विघात समीकरण है-

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∵ किसी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता। इसलिए,  \left( x+\frac { 1 }{ 4 } \right) ^{ 2 }.x  के किसी भी वास्तविक मान के लिए ऋणात्मक नहीं हो सकता।

∴ यहाँ x का कोई भी वास्तविक मान नहीं है जो दी गई द्विघात समीकरण को सन्तुष्ट करता हो।
अतः, दिए गए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
अतः समीकरण के मूलों का अस्तित्व नहीं है। उत्तर

(vii) प्रश्नानुसार द्विघात समीकरण है-
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प्रश्न 2.
निम्न द्विघात समीकरणों के मूल, यदि उनका अस्तित्व हो, तो श्रीधर आचार्य विधि द्वारा द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए—
(i) 2x2 –  2\sqrt { 2 } x  + 1=0
(ii) 9x2 + 1 – 2 = 0
(iii) x +  \frac { 1 }{ x }  = 3, x ≠ 0
(iv)  \sqrt { 2 } { x }^{ 2 }  + 7x +  5\sqrt { 2 }  = 0
(v) x2 + 4x + 5 = 0
(vi)  \frac { 1 }{ x } -\frac { 1 }{ x-2 } =3,\quad x\neq 0,2
हल:

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प्रश्न 3.
दो ऐसे क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णाक ज्ञात कीजिये जिनके वर्गों का योग 290 हो।
हल:
माना पहला क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक = x
इसका अगला क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक = (x + 2)
प्रश्नानुसार x2 + (x+ 2)2 = 290
⇒ x2 + x2 + 4x + 4 = 290
⇒ 2x2 + 4x + 4 – 290 = 0
⇒ 2x2 + 4 – 286 = 0
या 2(x2 + 2x – 143) = 0
या x2 + 2x – 143 =  \frac { 0 }{ 2 }  = 0
x2 + 2x – 143 = 0
अतः a = 1,.b = 2 तथा c = – 143
b2 – 4ac का मान ज्ञात करने पर
(2)2 – 4 × 1 × (- 143)
⇒ 4 + 572 = 576
श्रीधर आचार्य द्विघात सूत्र का प्रयोग करने पर
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परन्तु x एक धनात्मक विषम पूर्णांक दिया है। अतः x = 11 होगा, क्योंकि x ≠ – 13 अतः दोनों क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक 11 और 13 हैं। उत्तर

प्रश्न 4.
दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 45 है तथा छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का चार गुना है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बड़ी संख्या x है, तब
छोटी संख्या का वर्ग = 4x
और बड़ी संख्या का वर्ग = x2
संख्याओं के वर्गों का अन्तर 45 दिया है।
इसलिए x2 – 4x = 45
x2 – 4x – 45 = 0
अतः स्पष्ट है कि a = 1, b = – 4 तथा c = – 45 b2 – 4ac का मान ज्ञात करने पर
b2 – 4ac = (- 4)2 – 4 x 1 x (-45)
= 16 + 180 = 196
तब श्रीधर आचार्य द्विघात सूत्र का प्रयोग करने पर

प्रश्न 5.
16 को दो भागों में इस प्रकार विभाजित कीजिये कि बड़े भाग के वर्ग का दो गुना छोटे भाग के वर्ग से 164 अधिक हो।
हल:
माना x बड़ा भाग है। तब छोटा भाग = 16 – x
प्रश्नानुसार
2x2 = (16 – x)2 + 164
= 2x2 – (16 – x)2 = 164
= 2x2 – 256 + 32x – 2 = 164
= x2 + 32x – 420 = 0
अतः स्पष्ट है a = 1, b = 32 तथा c = – 420
श्रीधर आचार्य द्विघात सूत्र का प्रयोग करने पर-