Chapter 3 बहुपद Ex 3.6

Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths

प्रश्न 1.
निम्नलिखित व्यंजकों के लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए-
(i) 24x²yz और 27x⁴ y²z²
(ii) x² – 3x + 2 और x⁴ + r³ – 6x²
(iii) 2x² – 8 और x² – 5x + 6
(iv) x² – 1; (x² + 1) (x + 1) तथा x² + x – 1
(v) 18(6x⁴ + x³ – x²) और 45(2x⁶ + 3x⁵ + x⁴)
हल:
(i) माना दिये गये व्यंजक
n(x) = 24x²yz
तथा v(x) = 27x⁴y²z² हैं।
अतः गुणनखण्डन रूप में लिखने पर
u = 2 × 2 × 2 x 3 × x² y × 2
तथा v = 3 × 3 × 3 x x⁴ x y² x z²
अतः सर्वनिष्ठ गुणज
= 2³ × 3³ × x⁴ × y² × z² [उच्चतम घात वाले सर्वनिष्ठ गुणनखण्डों का गुणनफल]
= 8 × 27 × x⁴ × y² × 2z²
= 216x⁴y²z²
यही सर्वनिष्ठ गुणज उपरोक्त व्यंजकों का अभीष्ट लघुत्तम समापवर्तक है।
अर्थात् LCM = 216x⁴y²z² उत्तर

(ii) x² – 3x + 2 और x⁴ + x³ – 6x²
माना u(x) = x² – 3x + 2
तथा v(x) = x⁴ + x³ – 6x²
अतः गुणनखण्डन रूप में लिखने पर
u = x² – 3x + 2 = (x – 2) (x – 1)
v = x⁴ + x³ – 6x² = (x² + x – 6)
= x²(x + 3)(x – 2)
अतः सर्वनिष्ठ गुणज
= x²(x – 1) (x – 2) (x + 3) [उच्चतम घात वाले सर्वनिष्ठ गुणनखण्डों का गुणनफल]
यही सर्वनिष्ठ गुणज उपरोक्त व्यंजकों को अभीष्ट लघुत्तम समापवर्तक है।
अर्थात् LCM = x²(x – 1) (x – 2) (x + 3) उत्तर

(iii) माना u(x) = 2x² – 8
तथा v(x) = x² – 5x + 6
अत: गुणनखण्डन रूप में लिखने पर
u = 2x² – 8
= (x² – 4) = 2[(x)² – (2)²]
=2(x + 2)(x – 2)
v = x² – 5x + 6 = (x – 3) (x – 2)
अतः सर्वनिष्ठ गुणज (Common multiple)
= 2(x – 2) (x – 3) (x + 2)
= 2(x² – 4) (x – 3) [उच्चतम घात वाले सर्वनिष्ठ गुणनखण्डों का गुणनफल]
यही सर्वनिष्ठ गुणज उपरोक्त व्यंजकों का अभीष्ट लघुत्तम समापवर्तक है।
अर्थात् LCM = 2(x² – 4) (x – 3) उत्तर

(iv) माना दिये गये व्यंजक
u(x) = x² – 1
v(r) = (x² + 1) (x + 1)
तथा w(x) = x² + x – 1
अतः गुणनखण्डन रूप में लिखने पर
u = x² – 1 = (x – 1) (x + 1)
v = (x² + 1) (x + 1)
w = x² + x – 1
अतः सर्वनिष्ठ गुणज (Common multiple)
= (x – 1) (x + 1) (x² + 1) (x² + 1 – 1) [उच्चतम घात वाले सर्वनिष्ठ गुणनखण्डों का गुणनफल]
= ( x² – 1) (x² + 1) (x² + x – 1)
= [(x)⁴ – 1) (x² + x – 1)
यही सर्वनिष्ठ गुणज उपरोक्त व्यंजकों का अभीष्ट लघुत्तम समापवर्तक है।
अर्थात् LCM = (x⁴ – 1) (x² + x – 1) उत्तर

(v) माना दिये गये व्यंजक
u(r) = 18(6x⁴ + x³ – x²)
तथा v(x) = 45(2x⁶ + 3x⁵ + x⁴)
अतः गुणनखण्डन रूप में लिखने पर
u = 18(6x⁴ + x³ – x²)
= 18x² (6x² + x – 1)
= 18x² {6x² + 3x – 2x – 1}
= 18² {3(2x + 1) – 1(2x + 1)}
= 18x² (2x + 1) (3x – 1)
= 2¹² × 3² × x (2x + 1) (3x – 1)
v = 45 (2x⁶ + 3x⁵ + x⁴)
= 45x⁴(2x² + 3x + 1)
= 3² × 5¹ × x⁴(2x² + 2x + x + 1)
= 3² × 5¹ × x⁴(2x(x + 1) + 1(x + 1))
= 3² × 5¹ × x⁴ x (x + 1) x (2x + 1)
अतः सर्वनिष्ठ गुणज (Common multiple)
=2¹ × 3² × 5¹ × x⁴ × (x + 1) (2x + 1) (3x-1)
= 2 × 9 × 5 × x⁴ x (x + 1) (2x + 1) (3 – 1)
= 90x⁴(x + 1) (2x + 1) (3x – 1) [उच्चतम घात वाले सर्वनिष्ठ गुणनखण्डों का गुणनफल]
यही सर्वनिष्ठ गुणज उपरोक्त व्यंजकों का अभीष्ट लघुत्तम समापवर्तक है।
अर्थात् LCM = 90x⁴ (x + 1) (2x + 1) (3x – 1) उत्तर

प्रश्न 2.
निम्नलिखित व्यंजकों के महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए-
(i) a³b⁴, ab⁵, a²b⁸
(ii) 16x²y², 48x⁴z
(iii) x² – 7x + 12; x² – 10x + 21 तथा x² + 2x – 15
(iv) (x + 3)² (x – 2) और (x + 3) (x – 2)²
(v) 24(6x⁴ – x³ – 2x²) और 20(6x⁶ + 3x⁵ + x⁴)
हल:
(i) माना दिये गये व्यंजक
u = a³b⁴
v = ab⁵
तथा w = a²b⁸
अतः गुणनखण्डन रूप में लिखने पर
u = a³ × b⁴
v = a × b⁵
तथा w = a² × b⁸
यहाँ महत्तम घात का सर्वनिष्ठ भाजक
= a × b⁴
या = न्यूनतम घात के सर्वनिष्ठ गुणनखण्डों का गुणनफल
अतः अभीष्ट महत्तम समापवर्तक (HCF) = ab⁴ है।

(ii) माना दिये गये व्यंजक
u = 16x²y²
तथा v = 48x⁴z
अतः गुणनखण्डन रूप में लिखने पर
u = 2 × 2 × 2 × 2 × x × x × y × y
= 2⁴ x x² xy
v = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × x × x × x × x × z
= 2⁴ × 3¹ × x⁴ × z²
यहाँ महत्तम घात का सर्वनिष्ठ ‘भाजक = 2⁴ × x² = 16 x²
या = न्यूनतम घात के सर्वनिष्ठ गुणनखण्डों का गुणनफल
अतः अभीष्ट महत्तम समापवर्तक (HCF) = 16x²है।

(iii) माना दिये गये व्यंजक
u = x² – 7x + 12
v = x² – 10x + 21
तथा w = x² + 2x – 15
अतः गुणनखण्डन रूप में लिखने पर

यहाँ महत्तम घात का सर्वनिष्ठ भाजक = (x – 3)
या = न्यूनतम घात के सर्वनिष्ठ गुणनखण्डों का गुणनफल
अतः अभीष्ट महत्तम समापवर्तक (HCF) = (x – 3) है।

(iv) माना दिये गये व्यंजक
u = (x + 3)² (x – 2)
तथा v = (x + 3) (x – 2)²
अतः गुणनखण्डन रूप में लिखने पर
u = (x + 3)² (x – 2) = (x + 3) × (x + 3) × (x – 2)
v = (x + 3) (x – 2)² = (x + 3) × (x – 2) × (x – 2)
यहाँ महत्तम घात का सर्वनिष्ठ भाजक = (x + 3) (x – 2)
या = न्यूनतम घात के सर्वनिष्ठ गुणनखण्डों का गुणनफल
अतः अभीष्ट महत्तम समापवर्तक (HCF) = (x + 3) (x – 2) उत्तर

(v) माना दिये गये व्यंजक
u = 24(6x⁴ – x² – 2x²)
तथा v = 20(6x⁶ + 3x² + x)
अतः गुणनखण्डन रूप में लिखने पर

यहाँ महत्तम घात का सर्वनिष्ठ भाजक = 2² × x² = 4x
या = न्यूनतम घात के सर्वनिष्ठ गुणनखण्डों का गुणनफल
अतः अभीष्ट महत्तम समापवर्तक (HCF) = 4x² उत्तर

प्रश्न 3.
यदि u(x) = (x – 1)² तथा v(x) = (x² – 1) हो तो सम्बन्ध LCM × HCF = u(x) × v(x) की सत्यता की जाँच कीजिए।
हल:
दिया है-
u(x) = (x – 1)²
v(x) = (x² – 1)
अतः गुणनखण्डन के रूप में लिखने पर
u = (x – 1) × (x – 1) …..(i)
v = x² – 1 = (x – 1) (x + 1) …………..(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) से HCF तथा LCM लिखने पर
HCF = (x – 1)
LCM = (x – 1) ×(x – 1) × (x + 1)
= (x – 1) × (x + 1) = (x – 1)² (x + 1)
हमें सम्बन्ध की जाँच करनी है।
LCM × HCF = u(x) × y(x)
→ LHS = LCM x HCF = (x – 1)² (x + 1) x (x – 1)
= (x – 1)³ (x + 1)
RHS = u(x) × v(x) = (x – 1)² × (x – 1)
= (x – 1)² x (x – 1) (x + 1)
= (x – 1)³ (x + 1)
अतः LHS = RHS
अर्थात् LCM × HCF = u(x) × v(x)
अत: सत्यापन की जाँच पूरी होती है।

प्रश्न 4.
दो व्यंजकों का गुणनफल (x – 7)(x² + 8 +12) है। यदि इन व्यंजकों का महत्तम समापवर्तक (HCF), (x + 6) है तो इनका लघुत्तम समापवर्तक (LCM) ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है-दो व्यंजकों का गुणनफल = (x – 7)(x² + 8x + 12)
(HCF) = (x + 6)
LCM = ?
हम जानते हैं-

प्रश्न 5.
दो द्विघातीय व्यंजकों का HCF एवं LCM क्रमशः (x – 5) तथा x³ – 19x – 30 है तो दोनों व्यंजकों को ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है- HCF = (x – 5)
LCM = x² – 19x – 30
माना दो द्विघातीय व्यंजक (1) तथा v(x) हैं।
अब x³ – 19x – 30 में